OlimpíadasNúmeros primos e quadrados Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Dez 2017 17 08:42

Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Miliotta » Dom 17 Dez, 2017 08:42

Determinar todos os números primos
[tex3]p[/tex3] e números naturais [tex3]n[/tex3] tais que

[tex3]p^5+4p+1=n^2[/tex3] .




Auto Excluído (ID:17906)
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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 17 Dez, 2017 13:24

Ainda não consegui chegar em um padrão, nem em uma fatoração ideal, porém, os únicos valores que eu encontrei foram: [tex3]p=3[/tex3] e [tex3]n=16[/tex3] .

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em Dom 17 Dez, 2017 18:55, em um total de 1 vez.



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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Miliotta » Dom 17 Dez, 2017 14:12

Sim, acho que está justo. :)
Alguém pode publicar uma resolução?Obrigada.



Auto Excluído (ID:17906)
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Dez 2017 17 15:14

Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 17 Dez, 2017 15:14

Você pode tentar escrever assim:
Como p^5 + 4p +1, deverá ser um quadrado perfeito, devemos primeiramente demonstrar que p é positivo.
Sendo p^5, o sinal de p continua o mesmo, não se alterando. Temos também que p na próxima operação de soma deverá muitplicar por 4, o que também não alterará seu sinal.
Então podemos dizer que ele não poderá ser negativo.
Se aplicarmos p=0, teremos como solução um quadrado perfeito, porém, 0 não é número primo.
Seguimos então demostrando a utilização dos outros números primos positivos. {2, 3, 5, ...}
Por congruência (acredito que se já isso) vemos que o 3 é o único número que torna nessa expressão o produto de dois termos idênticos, que podem ser positivos somente positivos, esse dado termo pode então ser o 16.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em Dom 17 Dez, 2017 18:53, em um total de 1 vez.



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sousóeu
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Dez 2017 17 18:02

Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por sousóeu » Dom 17 Dez, 2017 18:02

[tex3]p(p^4+4) = n^2-1[/tex3]

de onde p divide n-1 ou n+1

supondo n-1 = kp então n+1 = kp+2

[tex3]p(p^4+4) = kp(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 + 4 = k(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 - k^2p =2k-4[/tex3]
[tex3]p(p^3-k^2) = 2(k-2)[/tex3]
como p=2 não funciona, pois [tex3]2^5+9 = 41[/tex3]
então p divide k-2.
k-2= C*p [tex3]k= C*p+2[/tex3]
[tex3]p^3-C^2p^2 -4Cp + 4 = 2*C[/tex3]
[tex3]p(p^2-C^2p-4C) = 2*(C-2)[/tex3]
de novo [tex3]C = mp +2[/tex3]
[tex3]p^2-(mp+2)^2p -4(mp+2) = 2m[/tex3]
[tex3]p^2 -(m^2p^2+4mp+4)p -4mp-8=2m[/tex3]
porém, note que o lado esquerdo da expressão acima é negativo, enquanto o lado direito deve ser positivo para n ser natural.
absurdo.

então p deve dividir n+1
[tex3]p^5 + 4p +1 = n^2[/tex3]
[tex3]p^5 - (p+1)^4 +4p+1 = n^2-(p+1)^4[/tex3]
[tex3]p^5 - p^4 - 4p^3-6p^2 = (n-(p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]p^2(p^3-p^2-4p-6) = (n - (p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
como p não divide [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] devemos ter que [tex3]p^2[/tex3] divide [tex3]n+1+2p[/tex3]
e [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] divide [tex3]p^3-p^2-4p-6[/tex3]
[tex3]p^3 -p^2-4p-6 = k*(n-(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]n + (p+1)^2 = p^2*m[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 = -2k*(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 + 2k(p+1)^2= 0[/tex3]
[tex3]p^3 + 2k(p+1)^2 = p^2(mk+1)+4p+6[/tex3] (*)
[tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
de onde [tex3]k - p = \frac{p^3 - p^3(m-2) -5}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
vamos supor m>2
[tex3]p^2m+1-2(p+1)^2 \geq 3p^2+1-2p^2-4p-2 = p^2-4p -1 = (p-2)^2-5[/tex3]
se p=3 numerador e denominador serão negativos, de fato p=3 leva a n=16. Para todo outro primo teremos numerador negativo e denominador positivo de onde
[tex3]k - p <0[/tex3] logo [tex3]k <p [/tex3] mas [tex3]2k - 6[/tex3] é divisível por p de (*) e [tex3]2k < 2p[/tex3]
logo [tex3]2k-6 = p*n < 2p[/tex3] mas [tex3]n<2[/tex3] de onde [tex3]p =2k-6[/tex3] e então p é divisível por 2. Absurdo.

logo sobrou m=1 e m=2
se m=2 [tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{- 4p-1}[/tex3] que é negativo para p>3
para m=1 n é negativo. Logo p=3 é a única solução.
Editado pela última vez por sousóeu em Dom 17 Dez, 2017 22:24, em um total de 2 vezes.



Auto Excluído (ID:17906)
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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 17 Dez, 2017 18:32

sousóeu escreveu:
Dom 17 Dez, 2017 18:02
[tex3]p(p^4+4) = n^2-1[/tex3]

de onde p divide n-1 ou n+1

supondo n-1 = kp então n+1 = kp+2

[tex3]p(p^4+4) = kp(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 + 4 = k(kp+2)[/tex3]
[tex3]p^4 - k^2p =2k-4[/tex3]
[tex3]p(p^3-k^2) = 2(k-2)[/tex3]
como p=2 não funciona, pois [tex3]2^5+9 = 41[/tex3]
então p divide k-2.
k-2= C*p [tex3]k= C*p+2[/tex3]
[tex3]p^3-C^2p^2 -4Cp + 4 = 2*C[/tex3]
[tex3]p(p^2-C^2p-4C) = 2*(C-2)[/tex3]
de novo [tex3]C = mp +2[/tex3]
[tex3]p^2-(mp+2)^2p -4(mp+2) = 2m[/tex3]
[tex3]p^2 -(m^2p^2+4mp+4)p -4mp-8=2m[/tex3]
porém, note que o lado esquerdo da expressão acima é negativo, enquanto o lado direito deve ser positivo para n ser natural.
absurdo.

então p deve dividir n+1
[tex3]p^5 + 4p +1 = n^2[/tex3]
[tex3]p^5 - (p+1)^4 +4p+1 = n^2-(p+1)^4[/tex3]
[tex3]p^5 - p^4 - 4p^3-6p^2 = (n-(p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]p^2(p^3-p^2-4p-6) = (n - (p+1)^2)(n+(p+1)^2)[/tex3]
como p não divide [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] devemos ter que [tex3]p^2[/tex3] divide [tex3]n+1+2p[/tex3]
e que [tex3]p^3-p^2-4p-6 \geq n -(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 -2p - 5 \geq n [/tex3]
e [tex3]n -(p+1)^2[/tex3] divide [tex3]p^3-p^2-4p-6[/tex3]
[tex3]p^3 -p^2-4p-6 = k*(n-(p+1)^2)[/tex3]
[tex3]n + (p+1)^2 = p^2*m[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 = -2k*(p+1)^2[/tex3]
[tex3]p^3 - p^2 -4p-6 -m*k*p^2 + 2k(p+1)^2= 0[/tex3]
[tex3]p^3 + 2k(p+1)^2 = p^2(mk+1)+4p+6[/tex3] (*)
[tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
de onde [tex3]k - p = \frac{p^3 - p^3(m-2) -5}{p^2m+1-2(p+1)^2}[/tex3]
vamos supor m>2
[tex3]p^2m+1-2(p+1)^2 \geq 3p^2+1-2p^2-4p-2 = p^2-4p -1 = (p-2)^2-5[/tex3]
se p=3 numerador e denominador serão positivos, de fato p=3 leva a n=16. Para todo outro primo teremos numerador negativo e denominador positivo de onde
[tex3]k - p <0[/tex3] logo [tex3]k <p [/tex3] mas [tex3]2k - 6[/tex3] é divisível por p de (*) e [tex3]2k < 2p[/tex3]
logo [tex3]2k-6 = p*n < 2p[/tex3] mas [tex3]n<2[/tex3] de onde [tex3]p =2k-6[/tex3] e então p é divisível por 2. Absurdo.

logo sobrou m=1 e m=2
se m=2 [tex3]k = \frac{p^3-4p-6}{- 4p-1}[/tex3] que é negativo para p>3
para m=1 n é negativo. Logo p=3 é a única solução.
Falta adicionar o -16 aos possíveis valores de n.



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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por sousóeu » Dom 17 Dez, 2017 18:49

n é natural pelo enunciado



Auto Excluído (ID:17906)
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Dez 2017 17 18:51

Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Dom 17 Dez, 2017 18:51

sousóeu escreveu:
Dom 17 Dez, 2017 18:49
n é natural pelo enunciado
Ah sim, estava me esquecendo desse "DETALHE" :D .
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17906) em Dom 17 Dez, 2017 18:56, em um total de 1 vez.



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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por Miliotta » Seg 18 Dez, 2017 09:15

Obrigada sousóeu, bela solução;
E graças para ti também GuiBernardo. :)



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Re: Números primos e quadrados

Mensagem não lida por sousóeu » Seg 18 Dez, 2017 11:29

agora que eu vi, 3 divide 15 que é n-1. Então por mais bonitinha que seja a solução tem algum erro nela hahahaha

nesse caso C=1, então C-2 dava negativo. Acho que o fato do lado direito ser negativo não gerava absurdo, pois deu origem a um n natural.

Editado pela última vez por sousóeu em Seg 18 Dez, 2017 11:33, em um total de 1 vez.



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