Olimpíadas ⇒ Desigualdade com reais positivos
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16
06:06
Desigualdade com reais positivos
[tex3]a,b,c[/tex3]
Demonstrar que
[tex3](a-1+\frac {1}{b})(b-1+\frac {1}{c})(c-1+\frac {1}{a})\leq 1[/tex3]
são números reais positivos com [tex3]abc=1[/tex3]
.Demonstrar que
[tex3](a-1+\frac {1}{b})(b-1+\frac {1}{c})(c-1+\frac {1}{a})\leq 1[/tex3]
Última edição: PrincesaAli (Sáb 16 Dez, 2017 06:07). Total de 1 vez.
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Mar 2021
06
12:24
Re: Desigualdade com reais positivos
......................up.................................
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Mar 2021
06
19:52
Re: Desigualdade com reais positivos
Cheguei em [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2[/tex3]
, mas não consegui a partir disso chegar na desigualdade.Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mar 2021
06
19:56
Re: Desigualdade com reais positivos
vc multiplicou o lado esquerdo e chegou em
daí agora precisaria provar que [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2\leq1[/tex3] ?
daí agora precisaria provar que [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2\leq1[/tex3] ?
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Mar 2021
06
20:45
Re: Desigualdade com reais positivos
Isso mesmo, esqueci de avisar.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Mar 2021
06
22:54
Re: Desigualdade com reais positivos
undefinied3, bem, como [tex3]abc=1[/tex3]
então podemos dizer que [tex3]a=\frac{x}{y}[/tex3]
, [tex3]b=\frac{y}{z}[/tex3]
e [tex3]c=\frac{z}{x}[/tex3]
, então nós ficaremos com a seguinte desigualdade [tex3](x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≦xyz.[/tex3]
Agora a gente faz uma outra substituição [tex3]x=p+q[/tex3] , [tex3]y=q+r[/tex3] e [tex3]z=p+r[/tex3] , então segue que [tex3](p+q)(q+r)(p+r)≧8pqr[/tex3] e pelas desigualdades aritmética e geométrica a conclusão segue.∎
Agora a gente faz uma outra substituição [tex3]x=p+q[/tex3] , [tex3]y=q+r[/tex3] e [tex3]z=p+r[/tex3] , então segue que [tex3](p+q)(q+r)(p+r)≧8pqr[/tex3] e pelas desigualdades aritmética e geométrica a conclusão segue.∎
Última edição: NigrumCibum (Dom 07 Mar, 2021 08:11). Total de 2 vezes.
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