OlimpíadasDesigualdade com reais positivos

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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PrincesaAli
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Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por PrincesaAli »

[tex3]a,b,c[/tex3] são números reais positivos com [tex3]abc=1[/tex3] .
Demonstrar que

[tex3](a-1+\frac {1}{b})(b-1+\frac {1}{c})(c-1+\frac {1}{a})\leq 1[/tex3]

Última edição: PrincesaAli (Sáb 16 Dez, 2017 06:07). Total de 1 vez.



Deleted User 25040
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Mar 2021 06 12:24

Re: Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

......................up.................................




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undefinied3
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Mar 2021 06 19:52

Re: Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por undefinied3 »

Cheguei em [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2[/tex3] , mas não consegui a partir disso chegar na desigualdade.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Deleted User 25040
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Mar 2021 06 19:56

Re: Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por Deleted User 25040 »

vc multiplicou o lado esquerdo e chegou em
undefinied3 escreveu:
Sáb 06 Mar, 2021 19:52
a+b+c+1a+1b+1c−ac−ba−cb−2a+b+c+1a+1b+1c−ac−ba−cb−2

daí agora precisaria provar que [tex3]a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{a}{c}-\frac{b}{a}-\frac{c}{b}-2\leq1[/tex3] ?



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undefinied3
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Mar 2021 06 20:45

Re: Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por undefinied3 »

Isso mesmo, esqueci de avisar.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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NigrumCibum
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Mar 2021 06 22:54

Re: Desigualdade com reais positivos

Mensagem não lida por NigrumCibum »

undefinied3, bem, como [tex3]abc=1[/tex3] então podemos dizer que [tex3]a=\frac{x}{y}[/tex3] , [tex3]b=\frac{y}{z}[/tex3] e [tex3]c=\frac{z}{x}[/tex3] , então nós ficaremos com a seguinte desigualdade [tex3](x+z-y)(x+y-z)(y+z-x)≦xyz.[/tex3]
Agora a gente faz uma outra substituição [tex3]x=p+q[/tex3] , [tex3]y=q+r[/tex3] e [tex3]z=p+r[/tex3] , então segue que [tex3](p+q)(q+r)(p+r)≧8pqr[/tex3] e pelas desigualdades aritmética e geométrica a conclusão segue.∎

Última edição: NigrumCibum (Dom 07 Mar, 2021 08:11). Total de 2 vezes.


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