OlimpíadasSoma Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Babi123
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Dez 2017 15 15:25

Soma

Mensagem não lida por Babi123 » Sex 15 Dez, 2017 15:25

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[tex3]\cos\alpha +C_{n}^{1}\cdot \cos2\alpha +C_{n}^{2}\cdot \cos3\alpha + \ ... \ +C_{n}^{n-1}\cdot \cos n\alpha + \cos(n+1)\alpha [/tex3]

e

[tex3]\sen \alpha +C_{n}^{1}\cdot \sen 2\alpha+C_{n}^{2}\cdot \sen 3\alpha + \ ... \ +C_{n}^{n-1}\cdot \sen n\alpha+\sen (n+1)\alpha [/tex3]




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sousóeu
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Dez 2017 15 19:49

Re: Soma

Mensagem não lida por sousóeu » Sex 15 Dez, 2017 19:49

seja [tex3]z = \cos (\alpha) + i \sen(\alpha)[/tex3]
[tex3]A =\cos\alpha +C_{n}^{1}\cdot \cos2\alpha +C_{n}^{2}\cdot \cos3\alpha + \ ... \ +C_{n}^{n-1}\cdot \cos n\alpha + \cos(n+1)\alpha [/tex3]
[tex3]B = \sen \alpha +C_{n}^{1}\cdot \sen 2\alpha+C_{n}^{2}\cdot \sen 3\alpha + \ ... \ +C_{n}^{n-1}\cdot \sen n\alpha+\sen (n+1)\alpha [/tex3]
temos que [tex3]A + Bi = z + {n \choose 1}z^2 + ... + {n \choose p} z^p + ... + z^{n+1} = z(1 + z)^n[/tex3]

de onde [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] são as partes reais e imaginárias de [tex3]z(1+z)^n[/tex3]

[tex3]1 + \cos(\alpha) + i\sen (\alpha) = 2\cos^2(\frac {\alpha}2) + 2i\sen(\frac{\alpha}2) \cos(\frac{\alpha}2)[/tex3]

[tex3]z(1+z)^n = (\cos(\alpha) + i \sen(\alpha))2^n\cos^n(\frac{\alpha}2)(\cos(\frac{n \alpha}2) + i \sen(\frac{n\alpha}2))[/tex3]

me parece que [tex3]A = 2^n \cos^n(\frac{\alpha}2) \cos(\frac{(n+2)\alpha}2)[/tex3] e [tex3]B = 2^n \cos^n(\frac{\alpha}2) \sen(\frac{(n+2)\alpha}2)[/tex3]

outra forma de resolver é com as fórmulas que transformam seno e cosseno em exponenciais nos números complexos, essa fórmula resolve a maioria das somas envolvendo [tex3]\cos(kx)[/tex3]
https://es.wikipedia.org/wiki/Coseno#En ... o_complejo
transformando essas somas em PGs

Editado pela última vez por sousóeu em Sáb 16 Dez, 2017 10:59, em um total de 3 vezes.



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Babi123
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Re: Soma

Mensagem não lida por Babi123 » Sáb 16 Dez, 2017 18:43

Muito obrigada sousóeu, pelas soluções e pelos materiais para estudo que vc sempre tem indicado. :D




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