OlimpíadasTeoria dos Números Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Teoria dos Números

Mensagem não lida por Hanon »

Prove que existe um inteiro positivo [tex3]n[/tex3] tal que os [tex3]2016[/tex3] primeiros dígitos de [tex3]n^{2016}[/tex3] são iguais a 1.




Superaks
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Re: Teoria dos Números

Mensagem não lida por Superaks »

Considere para um x real o número [tex3]\lfloor x\rfloor[/tex3] como o maior inteiro menor ou igual a x.

Temos que:

[tex3]x-1<\lfloor x\rfloor\leq x[/tex3]

Pegue o seguinte número.

[tex3]\underbrace{11...11}\\~\quad ^k[/tex3]

Onde ele terá k dígitos iguais a 1.

Temos que:

[tex3](\underbrace{11...11})^{1/2016}-1<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq({\underbrace{11...11}})^{1/2016}\\\quad~~^{k}\qquad\qquad\qquad\qquad~~~ ^{k}\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]

Pegue um k suficientemente grande que satisfaça:

[tex3]({\underbrace{11...11}\underbrace{00...00}})^{1/2016}<(\underbrace{11....11})^{1/2016}-1\\~~~~^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~\quad\qquad^{k}[/tex3]

Com isso temos que:

[tex3](\underbrace{11...11}\underbrace{00...00})^{1/2016}<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq
(\underbrace{11...11})^{1/2016}\\\quad^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~~~\qquad\quad^k\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]

Agora eleve todos os lados da desigualdade a 2016


[tex3](\underbrace{11...11}{\underbrace{00...00}})<\lfloor (\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor ^{2016}\leq\underbrace{11...111}\\~~~~^{2016}\quad^{(k-2016)}~~\quad\qquad^k\qquad\qquad\qquad\qquad~~^k[/tex3]

Faça:

[tex3]n=\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\\\qquad\quad~~~k[/tex3]

Temos um número inteiro entre dois números de k dígitos que iniciam com 2016 dígitos iguais a 1, logo, esse inteiro também tem que iniciar com pelo menos 2016 dígitos iguais a 1 e também terá k dígitos.

Concluindo o que queriamos provar.

Última edição: Superaks (Seg 25 Dez, 2017 14:09). Total de 6 vezes.



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Hanon
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Re: Teoria dos Números

Mensagem não lida por Hanon »

Grato Superaks. :D




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