Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números Tópico resolvido
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Dez 2017
14
13:04
Teoria dos Números
Prove que existe um inteiro positivo [tex3]n[/tex3]
tal que os [tex3]2016[/tex3]
primeiros dígitos de [tex3]n^{2016}[/tex3]
são iguais a 1.
Dez 2017
24
19:56
Re: Teoria dos Números
Considere para um x real o número [tex3]\lfloor x\rfloor[/tex3]
Temos que:
[tex3]x-1<\lfloor x\rfloor\leq x[/tex3]
Pegue o seguinte número.
[tex3]\underbrace{11...11}\\~\quad ^k[/tex3]
Onde ele terá k dígitos iguais a 1.
Temos que:
[tex3](\underbrace{11...11})^{1/2016}-1<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq({\underbrace{11...11}})^{1/2016}\\\quad~~^{k}\qquad\qquad\qquad\qquad~~~ ^{k}\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]
Pegue um k suficientemente grande que satisfaça:
[tex3]({\underbrace{11...11}\underbrace{00...00}})^{1/2016}<(\underbrace{11....11})^{1/2016}-1\\~~~~^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~\quad\qquad^{k}[/tex3]
Com isso temos que:
[tex3](\underbrace{11...11}\underbrace{00...00})^{1/2016}<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq
(\underbrace{11...11})^{1/2016}\\\quad^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~~~\qquad\quad^k\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]
Agora eleve todos os lados da desigualdade a 2016
[tex3](\underbrace{11...11}{\underbrace{00...00}})<\lfloor (\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor ^{2016}\leq\underbrace{11...111}\\~~~~^{2016}\quad^{(k-2016)}~~\quad\qquad^k\qquad\qquad\qquad\qquad~~^k[/tex3]
Faça:
[tex3]n=\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\\\qquad\quad~~~k[/tex3]
Temos um número inteiro entre dois números de k dígitos que iniciam com 2016 dígitos iguais a 1, logo, esse inteiro também tem que iniciar com pelo menos 2016 dígitos iguais a 1 e também terá k dígitos.
Concluindo o que queriamos provar.
como o maior inteiro menor ou igual a x.Temos que:
[tex3]x-1<\lfloor x\rfloor\leq x[/tex3]
Pegue o seguinte número.
[tex3]\underbrace{11...11}\\~\quad ^k[/tex3]
Onde ele terá k dígitos iguais a 1.
Temos que:
[tex3](\underbrace{11...11})^{1/2016}-1<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq({\underbrace{11...11}})^{1/2016}\\\quad~~^{k}\qquad\qquad\qquad\qquad~~~ ^{k}\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]
Pegue um k suficientemente grande que satisfaça:
[tex3]({\underbrace{11...11}\underbrace{00...00}})^{1/2016}<(\underbrace{11....11})^{1/2016}-1\\~~~~^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~\quad\qquad^{k}[/tex3]
Com isso temos que:
[tex3](\underbrace{11...11}\underbrace{00...00})^{1/2016}<\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\leq
(\underbrace{11...11})^{1/2016}\\\quad^{2016}~~~~^{(k-2016)}\qquad~~~\qquad\quad^k\qquad\qquad\qquad\quad ^k[/tex3]
Agora eleve todos os lados da desigualdade a 2016
[tex3](\underbrace{11...11}{\underbrace{00...00}})<\lfloor (\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor ^{2016}\leq\underbrace{11...111}\\~~~~^{2016}\quad^{(k-2016)}~~\quad\qquad^k\qquad\qquad\qquad\qquad~~^k[/tex3]
Faça:
[tex3]n=\lfloor(\underbrace{11...11})^{1/2016}\rfloor\\\qquad\quad~~~k[/tex3]
Temos um número inteiro entre dois números de k dígitos que iniciam com 2016 dígitos iguais a 1, logo, esse inteiro também tem que iniciar com pelo menos 2016 dígitos iguais a 1 e também terá k dígitos.
Concluindo o que queriamos provar.
Última edição: Superaks (Seg 25 Dez, 2017 14:09). Total de 6 vezes.
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