Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Hanon** » Qui 14 Dez, 2017 13:00 · Mensagem não lida por **Hanon** » Qui 14 Dez, 2017 13:00

Prove que existem infinitos números da forma [tex3]1999\ ...\ 991[/tex3] que são múltiplos de [tex3]1991[/tex3]

Note que

10ⁿ = 1000...00 (existem n + 1 dígitos)

Subtraia 1 em ambos os lados

10ⁿ - 1 = 999...99

Some 10ⁿ em ambos os lados

10ⁿ + 10ⁿ - 1 = 999...99 + (1000...00)

2 . 10ⁿ - 1 = 19999...99

Subtraia 8 em ambos os lados

2 . 10ⁿ - 9 = 199..991

Existirá infinitos múltiplos de 1991 da forma 199...991, se, e somente se, a congruência abaixo tiver solução

2 . 10ⁿ - 9 Ξ 0 (mod 1991)

Some 1991

2 . 10ⁿ - 9 Ξ 1991 (mod 1991)

2. 10ⁿ Ξ 2000 (mod 1991)

Pegue n ≥ 3

2000 . 10^(n - 3) Ξ 2000 (mod 1991)

Como mdc(2000, 1991) = 1, podemos simplificar

10^(n - 3) Ξ 1 (mod 1991)

Como mdc(1991, 10) = 1, pelo teorema de Euler temos que

10^(φ(1991)) Ξ 1 (mod 1991)

Então pegue um inteiro positivo k tal que

n - 3 = φ(1991) . k

Assim teremos infinitas soluções

Mensagem não lidapor **Hanon** » Ter 13 Fev, 2018 10:04 · Mensagem não lida por **Hanon** » Ter 13 Fev, 2018 10:04

Valeu Superaks!

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