Olimpíadas ⇒ Números inteiros Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Dez 2017
13
05:28
Números inteiros
Determinar quantos pares são ordenados [tex3](a, b)[/tex3]
de números inteiros não negativos, de modo que [tex3]2a+3b=2012[/tex3]
.
Última edição: silvy (Qua 13 Dez, 2017 05:29). Total de 1 vez.
Dez 2017
13
12:16
Re: Números inteiros
Sendo [tex3]2a+3b=2012[/tex3]
a equação de uma reta, podemos reescrevê-la da seguinte forma [tex3]a=(-3/2)b+1006[/tex3]
, sendo assim, [tex3]a[/tex3]
está no eixo ordenado e [tex3]b[/tex3]
no eixo das abscissas. Então vemos que [tex3]a[/tex3]
tem seu maior valor em 1006, e como o enunciado pede pares ordenados inteiros, devemos ter que [tex3](3/2)b[/tex3]
resulte sempre num inteiro, então, devemos considerar apenas [tex3]b[/tex3]
indo de 2 em 2. Fazendo assim temos a sequência: [tex3]1006-0, 1006-3, 1006-6, ...[/tex3]
. Pretendemos ir nessa sequência até o menor valor possível, que é quando [tex3]a=1[/tex3]
, pois se [tex3]a=0[/tex3]
teremos um valor racional. Fazendo então [tex3]1006 -3x=1[/tex3]
, chegamos que [tex3]x=335[/tex3]
mas este valor não está contando o ponto [tex3](0,1006)[/tex3]
, então devemos acrescentar 1. Chegando então que há 336 pares ordenados.
-
lincoln1000 
- Mensagens: 350
- Registrado em: Dom 02 Jul, 2017 00:11
- Última visita: 31-07-20
- Contato:
Dez 2017
13
12:25
Re: Números inteiros
Repare que quando [tex3]b=0[/tex3]
, [tex3]a=1006[/tex3]
, mas quando [tex3]a=0[/tex3]
não tem solução para números inteiros, pois 2012 não é divisível por 3. Sendo 6 o MMC entre 3 e 2, para que a soma sempre dê 2012, temos que diminuir 6 de uma variável e aumentar em outra, então:
[tex3]2a=6\rightarrow a=3[/tex3]
[tex3]3b=6\rightarrow b=2[/tex3]
Primeiros pares ordenados
[tex3]
(a, b) \\
(1006, 0)\\
(1006-3, 0+2)\\
(1003-3, 2+2)
[/tex3]
O último valor para [tex3]b[/tex3] é [tex3]2012/3=670,6666...[/tex3] (não pode), mas repare que [tex3]670*3=2010[/tex3] , então o ultimo par ordenado é [tex3](1,670)[/tex3]
Veja que forma uma PA em ambas as variáveis, resolvendo a progressão crescente formada em [tex3]b[/tex3] temos:
[tex3]670=0+(n-1)2 \rightarrow n-1=335\rightarrow \boxed{n=336}[/tex3]
[tex3]2a=6\rightarrow a=3[/tex3]
[tex3]3b=6\rightarrow b=2[/tex3]
Primeiros pares ordenados
[tex3]
(a, b) \\
(1006, 0)\\
(1006-3, 0+2)\\
(1003-3, 2+2)
[/tex3]
O último valor para [tex3]b[/tex3] é [tex3]2012/3=670,6666...[/tex3] (não pode), mas repare que [tex3]670*3=2010[/tex3] , então o ultimo par ordenado é [tex3](1,670)[/tex3]
Veja que forma uma PA em ambas as variáveis, resolvendo a progressão crescente formada em [tex3]b[/tex3] temos:
[tex3]670=0+(n-1)2 \rightarrow n-1=335\rightarrow \boxed{n=336}[/tex3]
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 2 Respostas
- 551 Exibições
-
Última msg por Ornitologo
-
- 2 Respostas
- 517 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 292 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 324 Exibições
-
Última msg por Fibonacci13
-
- 1 Respostas
- 124 Exibições
-
Última msg por petras
