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Mensagem não lidapor **Hanon** » Qua 06 Dez, 2017 00:16 · Mensagem não lida por **Hanon** » Qua 06 Dez, 2017 00:16

(OBM) Quatro inteiros positivos [tex3]a,b,,c,d[/tex3] tem produto igual a [tex3]8![/tex3] e satisfazem: [tex3]\begin{cases}
ab+a+b=524 \\
bc+b+c=146 \\
cd+c+d=104
\end{cases}[/tex3]
Quanto vale [tex3]a-d[/tex3] ?

[tex3]\begin{cases}
ab+a+b=524 \\
bc+b+c=146 \\
cd+c+d=104
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
(a+1) \cdot (b+1)=3 \cdot 7 \cdot 5^2 \\
(b+1) \cdot (c+1)=3 \cdot 7^2 \\
(c+1) \cdot (d+1)=3 \cdot 5 \cdot 7
\end{cases}[/tex3]

Da 2° equação sobram 3 possibilidades:

[tex3]\begin{cases}
c+1=3 \\
c+1=3 \cdot 7 \\
c+1 = 7
\end{cases}[/tex3]

Para a primeira possibilidade, c=2, e portanto b = [tex3]7^2 - 1[/tex3]

Mas isso é absurdo por causa da primeira equação, já que lá não tem [tex3]7^2 [/tex3]

Para a segunda possibilidade, [tex3]c = 3 \cdot 7 - 1 = 20 [/tex3]

Disso segue que:

[tex3]\begin{cases}
a= 75 \\
b=6 \\
c=20 \\
d=4
\end{cases}[/tex3]

Mas é absurdo, como 75 e 20 são múltiplos de 5 então abcd seria múltiplo de 25, mas [tex3]8![/tex3] é divisível apenas por 5.

Portanto [tex3]c = 6 [/tex3]

Disso segue:

[tex3]\begin{cases}
a= 24 \\
b=20 \\
c=6 \\
d=14
\end{cases}[/tex3]

Finalmente: [tex3]\boxed {a-d = 24 - 14 = 10}[/tex3]

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