Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina
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Hanon 
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Nov 2017
22
02:06
Equação Diofantina
Resolva a equação [tex3]2^x - 5 = 11^{y}[/tex3]
, com [tex3]x \ \ e \ \ y[/tex3]
inteiros.
Nov 2017
22
03:44
Re: Equação Diofantina
[tex3]x = 0[/tex3]
ou [tex3]y = 0[/tex3]
Não dão solução
Também nem x e nem y podem ser negativos:
- Se x e y forem negativos, teríamos algo do tipo:
[tex3]\frac{1}{2^x}- \frac{1}{11^y} = 5[/tex3]
[tex3]\frac{2^x - 11^y}{2^x \cdot 11^y} = 5[/tex3]
O numerador é ímpar e o denominador é par, assim a fração não dá um número inteiro.
- Se apenas o x for negativo:
[tex3]\frac{1}{2^x} = 5+ 11^y[/tex3]
O lado esquerdo não é inteiro, enquanto o lado direito é. De modo análogo para quando apenas o y for negativo.
Então x e y são inteiros positivos.
[tex3]2^x - 5 = 11^{y}[/tex3]
[tex3]2^x -11 + 6 = 11^{y}[/tex3]
[tex3]2\cdot (2^{x-1} + 3) = 11\cdot (11^{y-1}+1)[/tex3]
Ou seja:
[tex3]2^{x-1} + 3 | 11 \rightarrow x = 4[/tex3]
Então a solução [tex3]\boxed {(x,y) = (4,1) }[/tex3]
Também nem x e nem y podem ser negativos:
- Se x e y forem negativos, teríamos algo do tipo:
[tex3]\frac{1}{2^x}- \frac{1}{11^y} = 5[/tex3]
[tex3]\frac{2^x - 11^y}{2^x \cdot 11^y} = 5[/tex3]
O numerador é ímpar e o denominador é par, assim a fração não dá um número inteiro.
- Se apenas o x for negativo:
[tex3]\frac{1}{2^x} = 5+ 11^y[/tex3]
O lado esquerdo não é inteiro, enquanto o lado direito é. De modo análogo para quando apenas o y for negativo.
Então x e y são inteiros positivos.
[tex3]2^x - 5 = 11^{y}[/tex3]
[tex3]2^x -11 + 6 = 11^{y}[/tex3]
[tex3]2\cdot (2^{x-1} + 3) = 11\cdot (11^{y-1}+1)[/tex3]
Ou seja:
[tex3]2^{x-1} + 3 | 11 \rightarrow x = 4[/tex3]
Então a solução [tex3]\boxed {(x,y) = (4,1) }[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Nov 2017
22
13:46
Re: Equação Diofantina
[tex3]2\cdot (2^{x-1} + 3) = 11\cdot (11^{y-1}+1)[/tex3]
[tex3]\mdc(11 , 11^{y-1}+1) = 1[/tex3]
[tex3](2^{x-1} + 3) [/tex3] é ímpar (tirando o caso x=1 que não dá solução), [tex3](11^{y-1}+1)[/tex3] é par
Então [tex3]2^{x-1} + 3 | 11 [/tex3]
Última edição: Ittalo25 (Qua 22 Nov, 2017 13:47). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Nov 2017
22
15:44
Re: Equação Diofantina
Ainda não vejo porque se pode concluir isso.
Ao meu ver, pelo fato do lado direito ser o produto de dois números primos entre si, então 2^(x - 1) + 3 dividiria somente um deles ou ambos.
Depois você disse que um é ímpar e outro é par. Não entendi o que isso implicaria na sua conclusão
Ao meu ver, pelo fato do lado direito ser o produto de dois números primos entre si, então 2^(x - 1) + 3 dividiria somente um deles ou ambos.
Depois você disse que um é ímpar e outro é par. Não entendi o que isso implicaria na sua conclusão
Nov 2017
22
16:39
Re: Equação Diofantina
tem razão, não dá pra concluir mesmoSuperaks escreveu: ↑Qua 22 Nov, 2017 15:44Ainda não vejo porque se pode concluir isso.
Ao meu ver, pelo fato do lado direito ser o produto de dois números primos entre si, então 2^(x - 1) + 3 dividiria somente um deles ou ambos.
Depois você disse que um é ímpar e outro é par. Não entendi o que isso implicaria na sua conclusão
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Hanon
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Nov 2017
24
21:52
Re: Equação Diofantina
Agora que fui verificar a resolução completa. De fato, não tem como concluir a penúltima parte. Grato aos dois colegas pela atenção e disponibilidade. Abraços.
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