Olimpíadas(Olimpíada Cearense – 1982) Geometria Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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ALDRIN
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(Olimpíada Cearense – 1982) Geometria

Mensagem não lida por ALDRIN »

Os lados de um triângulo mede 3, 7 e 8, respectivamente. Mostre que os ângulos deste triângulo, medidos em graus, estão em progressão aritmética.



"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.

Hoefer, H., 80.

Auto Excluído (ID:276)
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Jul 2008 13 23:54

Re: (Olimpíada Cearense – 1982) Geometria

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:276) »

Sendo [tex3]\alpha , \beta , \theta[/tex3] os ângulos opostos ao lados [tex3]3,7,8[/tex3] respectivamente ; tem-se que [tex3]\alpha \lt \beta \lt \theta[/tex3]

lei dos cossenos :

[tex3]64 + 9 - 48cos\beta = 49 \Rightarrow cos\beta = \frac{1}{2}[/tex3]

a única solução é para [tex3]\beta = 60[/tex3] , pois [tex3]\alpha + \beta + \theta = 180[/tex3]

então [tex3]\alpha = 60-q[/tex3] e [tex3]\theta = 60+p[/tex3]

logo [tex3]60 + 60-q + 60+p = 180 \Rightarrow p = q[/tex3]

sendo assim , os ângulos estão em progressão de razão p , com termo inicial igual a [tex3]60-p[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:276) (Dom 13 Jul, 2008 23:54). Total de 1 vez.



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