Olimpíadas ⇒ Triângulo (Perímetro) Tópico resolvido

[Hanon]

Seja um triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

, tal que os comprimentos de seus lados sejam inteiros, e os comprimentos dos lados [tex3]\overline{BC}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}[/tex3]

e [tex3]\overline{BA}[/tex3]

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[tex3]\overline{BA}[/tex3]

são números primos. O ângulo <ABC=120°. Determinar o perímetro do triângulo [tex3]ABC[/tex3]

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[tex3]ABC[/tex3]

[undefinied3]

[tex3]AB^2=p^2+q^2+pq=(p+q)^2-pq \rightarrow pq=(p+q+AB)(p+q-AB)[/tex3]

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[tex3]AB^2=p^2+q^2+pq=(p+q)^2-pq \rightarrow pq=(p+q+AB)(p+q-AB)[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
p+q+AB=pq \\
p+q-AB=1
\end{cases} \rightarrow 2p+2q=pq+1 \rightarrow (p-2)(q-2)=3[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
p+q+AB=pq \\
p+q-AB=1
\end{cases} \rightarrow 2p+2q=pq+1 \rightarrow (p-2)(q-2)=3[/tex3]

Então [tex3]p-2=1 \rightarrow p=3[/tex3]

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[tex3]p-2=1 \rightarrow p=3[/tex3]

e [tex3]q-2=3 \rightarrow q=5[/tex3]

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[tex3]q-2=3 \rightarrow q=5[/tex3]

, ou o contrário, mas não faz diferença. Daí, [tex3]3+5+AB=15 \rightarrow AB=7[/tex3]

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[tex3]3+5+AB=15 \rightarrow AB=7[/tex3]

Então o perímetro é [tex3]3+5+7=15[/tex3]

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[tex3]3+5+7=15[/tex3]

[Hanon]

Logo no começo (a parte que antecede a primeira implicação) me parece que vc usou a lei dos cossenos. Foi isso?

[undefinied3]

Isso mesmo. Desculpa não ter sido claro.