OlimpíadasGeometria (Problema de Mínimo) Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Fev 2018 20 23:15

Geometria (Problema de Mínimo)

Mensagem não lida por Hanon »

Seja ABC um triangulo qualquer. Encontre o valor mínimo que se pode tomar: [tex3](\cos ^{2}(A)+1)\cdot (\cos ^{2}(B)+1)\cdot (\cos ^{2}(C)+1)[/tex3]

Obs: Não tenho gabarito. :cry:




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jvmago
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Re: Geometria (Problema de Mínimo)

Mensagem não lida por jvmago »

Isso não seria geometria diferencial?



Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

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jvmago
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Re: Geometria (Problema de Mínimo)

Mensagem não lida por jvmago »

Se pensarmos nos infinitos trinagulos inscritiveis em uma circunferencia de raio unitário, não teriamos um trianguo maximo porém, o minimo seria um equilátero pois teremos as infinitas simetrias( angulare, cordas e etc) "PURTANTO":

[tex3]((\frac{\sqrt{2}}{2})^2+1)^3=\frac{27}{8}[/tex3]

Se alguem enxergar algo diferente, compartilha aí. Estou bem curioso sobre a essa questão


Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.

Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Geometria (Problema de Mínimo)

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

esse problema é absurdamente difícil, o usuário arqady do aops fez assim:

a resposta é [tex3]\frac{125}{64}[/tex3] . Prova:
Deixe [tex3]a^2+b^2+c^2=3u, a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2=3v^2, a^2b^2c^2=w^3[/tex3] e [tex3]u^2=tv^2[/tex3] .
Como [tex3]4v^2-3u^2=\frac{16}{3}S^2>0[/tex3] , ficamos com [tex3]1\leq t<\frac{4}{3}[/tex3]
e precisamos provar que [tex3]\prod_{cyc}(9u^2-12v^2+8a^2b^2)\geq125w^6[/tex3] ou
[tex3](9u^2-12v^2)^3+24v^2(9u^2-12v^2)^2+192uw^3(9u^2-12v^2)+512w^6\geq125w^6[/tex3] ou
[tex3]43w^6-64u(4v^2-3u^2)w^3+3(4v^2-3u^2)^2(3u^2+4v^2)\geq0[/tex3] , para tanto basta provar que
[tex3]w^3\geq\frac{32u(4v^2-3u^2)+(4v^2-3u^2)\sqrt{637u^2-516v^2}}{43}[/tex3] .
Como [tex3](a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=27(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)\geq0[/tex3] , ficamos com
[tex3]w^3\geq3uv^2-2u^3-2\sqrt{(u^2-v^2)^3}[/tex3] .
Portanto precisa provar que:
[tex3]3uv^2-2u^3-2\sqrt{(u^2-v^2)^3}\geq\frac{32u(4v^2-3u^2)+(4v^2-3u^2)\sqrt{637u^2-516v^2}}{43}[/tex3] ou
[tex3]10u^3+uv^2-86\sqrt{(u^2-v^2)^3}\geq(4v^2-3u^2)\sqrt{637u^2-516v^2}[/tex3] .
Como [tex3]10u^3+uv^2\geq86\sqrt{(u^2-v^2)^3}\Leftrightarrow t(10t+1)^2\geq7396(t-1)^3\Leftrightarrow(3-4t)(2432t^2-4160t+1849)\geq0[/tex3] , o que é verdade,
Resta provar que [tex3]\left(10u^3+uv^2-86\sqrt{(u^2-v^2)^3}\right)^2\geq(4v^2-3u^2)^2(637u^2-516v^2)[/tex3] ou
[tex3]t\left(10t+1-86\sqrt{\frac{(t-1)^3}{t}}\right)^2\geq(4-3t)^2(637t-516)[/tex3] ou
[tex3]41t^3-52t^2-9t+20\geq(40t+4)\sqrt{t(t-1)^3}[/tex3] ou
[tex3]41t^2-11t-20\geq(40t+4)\sqrt{t(t-1)}[/tex3] ou [tex3](4-3t)^2(9t^2+66t+25)\geq0[/tex3] . Pronto!

Link para o problema no aops

os ângulos que levam ao mínimo podem ser encontrados pelos multiplicadores de la-grange:

[tex3]f(A,B,C) = \ln (\cos^2A+1)+\ln (\cos^2B+1)+\ln (\cos^2C+1)[/tex3]
[tex3]g(A,B,C) = A+B+C = \pi[/tex3]
[tex3]h(A,B,C,\lambda) = f(A,B,C) -\lambda g(A,B,C)[/tex3]
[tex3]\frac{\partial h }{\partial A} = \frac{-\sen(2A)}{1 + \cos^2A} - \lambda = 0[/tex3]
para o mínimo ocorrer deve-se ter
[tex3]\frac{\sen(2A)}{1 + \cos^2A}=\frac{\sen(2B)}{1 + \cos^2B}=\frac{\sen(2C)}{1 + \cos^2C}[/tex3]
de fato ocorre quando [tex3]A=B=C = 60[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Ter 29 Jan, 2019 21:36). Total de 5 vezes.



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