Resolva a seguinte equação para [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3]
:
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3-1[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Equação
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2017
26
01:14
Re: Equação
Fazendo: [tex3]2y-1 = x^3 [/tex3]
:
[tex3]\begin{cases}
2y-1=x^3 \\
2x=y^3-1
\end{cases}[/tex3]
Somando as duas:
[tex3]2(x+y) = (x+y) \cdot (x^2+y^2-xy) [/tex3]
Primeiro caso:
[tex3]x + y = 0 [/tex3]
[tex3]\frac{y^3-1}{2}+ y = 0 [/tex3]
[tex3]y^3+ 2y - 1 = 0 [/tex3]
Segundo caso:
[tex3]x^2+y^2-xy = 2 [/tex3]
Ainda tá bem feio. Teria de pensar mais um pouco
[tex3]\begin{cases}
2y-1=x^3 \\
2x=y^3-1
\end{cases}[/tex3]
Somando as duas:
[tex3]2(x+y) = (x+y) \cdot (x^2+y^2-xy) [/tex3]
Primeiro caso:
[tex3]x + y = 0 [/tex3]
[tex3]\frac{y^3-1}{2}+ y = 0 [/tex3]
[tex3]y^3+ 2y - 1 = 0 [/tex3]
Segundo caso:
[tex3]x^2+y^2-xy = 2 [/tex3]
Ainda tá bem feio. Teria de pensar mais um pouco
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Out 2017
26
12:53
Re: Equação
vou achar uma solução aqui:
[tex3]y^3 +2y-1=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/tex3]
[tex3]b^3+c^3= -1[/tex3]
[tex3]-27b^3c^3 = 8[/tex3]
[tex3]z^2 +z -\frac8{27}=0[/tex3]
[tex3](z +\frac12)^2=\frac14+\frac8{27}[/tex3]
[tex3](z +\frac12)^2=\frac{177}{4*81}[/tex3]
[tex3]z = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{177}}{18}[/tex3]
então uma solução dessa equação é:
[tex3]y = -\sqrt[3]{ -\frac12 + \frac{\sqrt{177}}{18}} + \sqrt[3]{ \frac12 + \frac{\sqrt{177}}{18}} \approx 0,45340[/tex3]
que é bem feia.
pode-se expandir tudo e dividir por [tex3]y^3 +2y-1=0[/tex3] (que só tem uma única raíz real já que [tex3]y^3+2y-1=f(y)[/tex3] é estritamente crescente)
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3-1[/tex3]
[tex3]8(2y-1)=(y^3-1)^3[/tex3]
[tex3]8(2y-1)=y^{9}-3y^6+3y^3-1[/tex3]
[tex3]0=y^{9}-3y^6+3y^3-16y+7[/tex3]
efetuando a divisão:
[tex3]0 = y^6 -2y^4-2y^3+4y^2+2y-7[/tex3]
[tex3]y^3 +2y-1=0[/tex3]
[tex3]a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)[/tex3]
[tex3]b^3+c^3= -1[/tex3]
[tex3]-27b^3c^3 = 8[/tex3]
[tex3]z^2 +z -\frac8{27}=0[/tex3]
[tex3](z +\frac12)^2=\frac14+\frac8{27}[/tex3]
[tex3](z +\frac12)^2=\frac{177}{4*81}[/tex3]
[tex3]z = -\frac12 \pm \frac{\sqrt{177}}{18}[/tex3]
então uma solução dessa equação é:
[tex3]y = -\sqrt[3]{ -\frac12 + \frac{\sqrt{177}}{18}} + \sqrt[3]{ \frac12 + \frac{\sqrt{177}}{18}} \approx 0,45340[/tex3]
que é bem feia.
pode-se expandir tudo e dividir por [tex3]y^3 +2y-1=0[/tex3] (que só tem uma única raíz real já que [tex3]y^3+2y-1=f(y)[/tex3] é estritamente crescente)
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3-1[/tex3]
[tex3]8(2y-1)=(y^3-1)^3[/tex3]
[tex3]8(2y-1)=y^{9}-3y^6+3y^3-1[/tex3]
[tex3]0=y^{9}-3y^6+3y^3-16y+7[/tex3]
efetuando a divisão:
[tex3]0 = y^6 -2y^4-2y^3+4y^2+2y-7[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 26 Out, 2017 13:18). Total de 2 vezes.
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Hanon 
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Out 2017
27
01:30
Re: Equação
Olá caros amigos, consegui o gabarito: [tex3]y=1[/tex3]
e [tex3]y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
.
Última edição: Hanon (Sex 27 Out, 2017 01:31). Total de 1 vez.
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Hanon
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Out 2017
27
01:35
Re: Equação
Me perdoem a questão correta é: Resolva a seguinte equação para [tex3]y\in \mathbb{R}[/tex3]
:
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1[/tex3]
Gabarito:[tex3]y=1 \ \ \ \ e \ \ \ \ y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
[tex3]2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1[/tex3]
Gabarito:[tex3]y=1 \ \ \ \ e \ \ \ \ y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}[/tex3]
Última edição: Hanon (Sex 27 Out, 2017 01:38). Total de 1 vez.
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