Olimpíadas ⇒ Progressão geométrica

[Nia]

Numa P.G. de 2n termos, a soma dos termos de ordem par é P e a soma dos termos de ordem ímpar é I. Calcule o primeiro termo e a razão.
Como faço para chegar na resposta ?
Resposta:
r = [tex3]\frac{P}{I}[/tex3]

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[tex3]\frac{P}{I}[/tex3]

Se P = I, a₁=[tex3]\frac{P}{N} = \frac{I}{N}[/tex3]

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[tex3]\frac{P}{N} = \frac{I}{N}[/tex3]

Se P [tex3]\neq [/tex3]

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[tex3]\neq [/tex3]

I
a₁=([tex3]P^{2} - I^{2}[/tex3]

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[tex3]P^{2} - I^{2}[/tex3]

)[tex3]I^{2n-1} /[P]^{2n} - I^{2n}[/tex3]

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[tex3]I^{2n-1} /[P]^{2n} - I^{2n}[/tex3]

[Tassandro]

Nia,
Note que os termos de ordem par formam uma PG de razão [tex3]q^2[/tex3]

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[tex3]q^2[/tex3]

, sendo [tex3]q[/tex3]

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[tex3]q[/tex3]

a razão da PG original. O mesmo vale para os termos de ordem ímpar. Além disso, vale ressaltar que temos n termos pares e n termos ímpares de 1 até 2n. Logo, pela fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG [tex3]\(S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\)[/tex3]

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[tex3]\(S=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}\)[/tex3]

, temos que
[tex3]\frac{a_1q[q^{2n}-1]}{q^2-1}=P[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1q[q^{2n}-1]}{q^2-1}=P[/tex3]

e [tex3]\frac{a_1(q^{2n}-1)}{q^2-1}=I[/tex3]

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[tex3]\frac{a_1(q^{2n}-1)}{q^2-1}=I[/tex3]

, logo, achamos, ao dividir a primeira equação pela segunda, que [tex3]q=\frac{P}{I}[/tex3]

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[tex3]q=\frac{P}{I}[/tex3]

e agora deixo para você achar o [tex3]a_1[/tex3]

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[tex3]a_1[/tex3]