Olimpíadas ⇒ Matemática- Progressão aritmética Tópico resolvido

[Nia]

2. Seja a P.A. finita a₁, a₂, ... , a_k-1, a_k, com a₄+a₇+a₁₀=17 e a₄+ a₅+a₆+... +a₁₃+a₁₄=77. Se o último termo da P.A. é 13, determine o valor de k.
resposta: k=18

[demac]

a4=a1+3r
a7=a1+6r
a10=a1+9r

a4+a7+a10 = a1+3r + a1+6r + a1+9r = 17
3ai+18r=17

a4+ a5+a6+... +a13+a14=77
isso é a soma do a4 ao a14, então é:
[tex3]\frac{(a4+a14)11}{2}=77[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a4+a14)11}{2}=77[/tex3]

(a1+3r+a1+13r)11=154
2ai+16r=14

O sistema das equações em negrito vai resultar em:
r=[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{2}{3}[/tex3]

e a1= [tex3]\frac{5}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{3}[/tex3]

Como o ultimo termo é 13:
13=a1 + (k-1)r
13=[tex3]\frac{5}{3} + (k-1)\frac{2}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{5}{3} + (k-1)\frac{2}{3}[/tex3]

k=18