OlimpíadasMatemática- Progressão geométrica Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Nia
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Out 2017 20 19:07

Matemática- Progressão geométrica

Mensagem não lida por Nia »

Prove que se os lados de um triângulo forma uma PG , as alturas também formam




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jrneliodias
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Out 2017 20 19:29

Re: Matemática- Progressão geométrica

Mensagem não lida por jrneliodias »

Olá, Nia.

Se os lados de um triângulo forma uma PG, podemos usar a PG [tex3]\,\,(\,a,\, ak, \,ak^2\,)\,\,[/tex3] na qual temos o primeiro termo [tex3]\,\,a\,\,[/tex3] e razão [tex3]\,\,k\,\,[/tex3]

Então, se associarmos os lados [tex3]\,\,(\,a,\, ak, \,ak^2\,)\,\,[/tex3] com as alturas [tex3]\,\,(\,h_1,\, h_2, \,h_3\,)\,\,[/tex3] . Temos que a área do triângulo é dado por

[tex3]S = \frac{a\cdot h_1}{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,h_1=\frac{2S}{a}[/tex3]

[tex3]S = \frac{ak\cdot h_2}{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,h_2=\frac{2S}{ak}[/tex3]

[tex3]S = \frac{ak^2\cdot h_3}{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,h_3=\frac{2S}{ak^2}[/tex3]


Dessa forma, observamos que

[tex3]\frac{h_1}{h_2}\,\,=\,\,\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{2S}{ak}}\,\,=\,\,k\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,h_1=k\,h_2[/tex3]

[tex3]\frac{h_2}{h_3}\,\,=\,\,\frac{\frac{2S}{ak}}{\frac{2S}{ak^2}}\,\,=\,\,k\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,h_2=k\,h_3[/tex3]



Portanto, a sequência [tex3]\,\,(\,h_3,\, h_2, \,h_1\,)\,\,[/tex3] é uma PG de razão [tex3]\,\,k\,\,[/tex3]


Espero ter ajudado. Abraço.



Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.

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Nia
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Out 2017 20 20:10

Re: Matemática- Progressão geométrica

Mensagem não lida por Nia »

Muito obrigada !!!
Me salvou mesmo!!!!




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