Sejam [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
números reais não nulos que satisfazem à equação
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
Mostre que pelo menos um deles não é racional.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
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Olimpíadas ⇒ (Rússia-2000) Álgebra Tópico resolvido
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Ittalo25
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Out 2017
21
15:53
Re: (Rússia-2000) Álgebra
O enunciado está correto?
Vou dar um up no tópico mesmo sem conseguir resolver
Suponha, por absurdo, que os dois números são racionais:
[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]
Com x,y,p e q inteiros e mdc(x,y)=1 e mdc(p,q)=1
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]
[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]
[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]
A ideia seria chegar numa coisa do tipo: [tex3]2z^2 = t^2[/tex3]
Daí estaria provado o absurdo.
Não consegui enxergar uma fatoração que chegasse nisso.
Vou dar um up no tópico mesmo sem conseguir resolver
Suponha, por absurdo, que os dois números são racionais:
[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]
Com x,y,p e q inteiros e mdc(x,y)=1 e mdc(p,q)=1
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]
[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]
[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]
A ideia seria chegar numa coisa do tipo: [tex3]2z^2 = t^2[/tex3]
Daí estaria provado o absurdo.
Não consegui enxergar uma fatoração que chegasse nisso.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
