Olimpíadas ⇒ (Rússia-2000) Álgebra Tópico resolvido

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Sejam [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

e [tex3]b[/tex3]

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[tex3]b[/tex3]

números reais não nulos que satisfazem à equação
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]

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[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]

Mostre que pelo menos um deles não é racional.

[Ittalo25]

O enunciado está correto?
Vou dar um up no tópico mesmo sem conseguir resolver

Suponha, por absurdo, que os dois números são racionais:

[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]

Com x,y,p e q inteiros e mdc(x,y)=1 e mdc(p,q)=1

[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]

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[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]

[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]

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[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]

[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]

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[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]

[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]

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[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]

A ideia seria chegar numa coisa do tipo: [tex3]2z^2 = t^2[/tex3]

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[tex3]2z^2 = t^2[/tex3]

Daí estaria provado o absurdo.
Não consegui enxergar uma fatoração que chegasse nisso.