Sejam [tex3]a[/tex3]
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
Mostre que pelo menos um deles não é racional.
e [tex3]b[/tex3]
números reais não nulos que satisfazem à equaçãoOlimpíadas ⇒ (Rússia-2000) Álgebra Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Out 2017
21
15:53
Re: (Rússia-2000) Álgebra
O enunciado está correto?
Vou dar um up no tópico mesmo sem conseguir resolver
Suponha, por absurdo, que os dois números são racionais:
[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]
Com x,y,p e q inteiros e mdc(x,y)=1 e mdc(p,q)=1
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]
[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]
[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]
A ideia seria chegar numa coisa do tipo: [tex3]2z^2 = t^2[/tex3]
Daí estaria provado o absurdo.
Não consegui enxergar uma fatoração que chegasse nisso.
Vou dar um up no tópico mesmo sem conseguir resolver
Suponha, por absurdo, que os dois números são racionais:
[tex3]\begin{cases}
a=\frac{x}{y} \\
b=\frac{p}{q}
\end{cases}[/tex3]
Com x,y,p e q inteiros e mdc(x,y)=1 e mdc(p,q)=1
[tex3]a^{2}b^{2}(a^{2}b^{2}+4)=2(a^{6}+b^{2})[/tex3]
[tex3]\frac{x^2p^2}{y^2q^2} \cdot (\frac{x^2p^2}{y^2q^2}+4)=2\cdot (\frac{x^6}{y^6}+\frac{p^2}{q^2})[/tex3]
[tex3]2p^2q^2y^6 + 2q^4x^6 = p^4x^4y^2+ 4p^2q^2x^2y^4[/tex3]
[tex3]2\cdot (p^2q^2y^6 + q^4x^6+ 2q^4y^6) = (p^2x^2y+ 2q^2y^3)^2 [/tex3]
A ideia seria chegar numa coisa do tipo: [tex3]2z^2 = t^2[/tex3]
Daí estaria provado o absurdo.
Não consegui enxergar uma fatoração que chegasse nisso.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 731 Exibições
-
Última msg por IvanYamasaki
-
- 3 Respostas
- 6803 Exibições
-
Última msg por n4ruto
-
- 1 Respostas
- 562 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 476 Exibições
-
Última msg por petras