OlimpíadasFórmula para o número de algarismos Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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leomaxwell
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Out 2017 20 09:06

Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por leomaxwell »

Encontre uma fórmula para descrever o número [tex3]Q(x)[/tex3] de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de [tex3]0[/tex3] a [tex3]x[/tex3] , no sistema decimal, onde [tex3]n[/tex3] é o número de algarismos de [tex3]x[/tex3]
Resposta

[tex3]Q(x)=n(x+1)-(10^{n-1}+...+10)[/tex3]



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csmarcelo
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Out 2017 20 16:24

Re: Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por csmarcelo »

Inicialmente, realizei o produto [tex3]nx[/tex3] .

Isso nos daria a quantidade de algarismos de 1 até [tex3]x[/tex3] se todos os números tivessem [tex3]n[/tex3] algarismos, o que não é o caso.

Precisamos, agora, de duas coisas:

1) incluir mais um algarismo por conta do zero.

2) retirar os algarismos em excesso de cada grupo de números com menos algarismos que o do de [tex3]x[/tex3] .

Sejam [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] , respectivamente, o menor e maior números de [tex3]k[/tex3] algarismos, com [tex3]1\leq k<n[/tex3] .

Para cada um desses números, precisamos retirar [tex3]n-k[/tex3] algarismos.

Ou seja, assumindo [tex3]n=5[/tex3] , precisamos retirar:

1) um algarismo para cada um de todos os números de quatro algarismos.

2) dois algarismos para cada um de todos os números de três algarismos.

2) três algarismos para cada um de todos os números de dois algarismos.

2) quatro algarismos para cada um de todos os números de um algarismo.

Colocando em somatório:

[tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3]

O problema é que não dá para ficar com [tex3]a_k[/tex3] e [tex3]b_k[/tex3] na fórmula. Então temos que pensar em uma forma de removê-los.

Ainda supondo [tex3]n=5[/tex3] , o somatório acima fica da seguinte forma:

[tex3]1(b_4-a_4+1)+2(b_3-a_3+1)+3(b_2-a_2+1)+4(b_1-a_1+1)[/tex3]

Reorganizando as variáveis:

[tex3]\small{\color{red}[(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{blue}[(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{magenta}[(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)]}+{\color{green}(b_1-a_1+1)}[/tex3]

Repare que:

1) [tex3]\color{red}(b_4-a_4+1)+(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_4=9999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{4=k}-1[/tex3] .

2) [tex3]\color{blue}(b_3-a_3+1)+(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_3=999[/tex3] , ou seja [tex3]10^{3=k}-1[/tex3] .

3) [tex3]\color{magenta}(b_2-a_2+1)+(b_1-a_1+1)[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_2=99[/tex3] , ou seja [tex3]10^{2=k}-1[/tex3] .

4) [tex3]\color{green}b_1-a_1+1[/tex3] equivale a quantidade total de números de [tex3]a_1=1[/tex3] até [tex3]b_1=9[/tex3] , ou seja [tex3]10^{1=k}-1[/tex3] .

Logo, podemos substituir [tex3]\sum_{k=n-1}^1(n-k)(b_k-a_k+1)[/tex3] por [tex3]\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)[/tex3] .

E, com isso, chegamos fórmula:

[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}(10^i-1)+1[/tex3]

[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i-\sum_{i=1}^{n-1}-1+1[/tex3]

[tex3]nx-\sum_{i=1}^{n-1}10^i+(n-1)+1[/tex3]

[tex3]n(x+1)-\sum_{i=1}^{n-1}10^i[/tex3]




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Lacerda142857
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Re: Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

A quantidade Q de 1 até "x" e obtida por:

Q = (x + 1) x k - (111 .... 111); "k" 1's



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leomaxwell
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Re: Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por leomaxwell »

Lacerda142857, como chegou a essa conclusão?


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Lacerda142857
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Re: Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

Q = (x + 1) x k - (111 .... 111); "k" 1's; obs.: k é quantidade d algarismos de x.

Demonstrei esta fórmula no livro que fiz:
Praticando a Aritmética
Um abraço.



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Lacerda142857
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Nov 2017 05 21:45

Re: Fórmula para o número de algarismos

Mensagem não lida por Lacerda142857 »

E ainda ...
Se x tiver 2 alg. Q = 2x - 9
Se x tiver 3 alg. Q = 3x - 108
Se x tiver 4 alg. Q = 4x - 1.107 ,,, etc




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