Problema 1.21. Sejam dados números naturais a, b e c tais que a é múltiplo de c. Mostre que a + b é múltiplo de c se, e somente se, b é múltiplo de c.
Desse jeito que tentei estaria certo?
Se [tex3]a[/tex3]
é múltiplo de [tex3]c[/tex3]
, então [tex3]c\times p =a[/tex3]
, com [tex3]p\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]a+b=c\times p+b[/tex3]
Se [tex3]b[/tex3]
for múltiplo de [tex3]c[/tex3]
, então teremos [tex3]b=c\times q[/tex3]
, com [tex3]q\in \mathbb{N}[/tex3]
Daí,
[tex3]a+b=c\times p+c\times q[/tex3]
Pela propriedade distributiva:
[tex3]a+b=c\times (p+q)[/tex3]
e concluímos que [tex3]a+b[/tex3]
é múltiplo de [tex3]c[/tex3]
se [tex3]a[/tex3]
e [tex3]b[/tex3]
forem múltiplos de [tex3]c[/tex3]
E como faço para fazer a volta?
Obrigado desde já!
Olimpíadas ⇒ Aritmética - múltiplos Tópico resolvido
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Aritmética - múltiplos
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Re: Aritmética - múltiplos
Olá leomaxwell!!
Devemos provar que:
[tex3]\mathsf{a + b = c \cdot (p + q) \Rightarrow b = c \cdot q}[/tex3]
Por absurdo, suponha que [tex3]\mathbf{b}[/tex3] não seja múltiplo de [tex3]\mathbf{c}[/tex3] ; assim, [tex3]\mathsf{\exists r \in \mathbb{N}^{\ast}; b = c \cdot q + r}[/tex3] .
Com efeito,
[tex3]\\ \mathsf{b = cq + r} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = a + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = cp + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = c \cdot \underbrace{(p + q)}_{\in \mathbb{N}} + r}[/tex3]
Daí, tiramos que [tex3]\mathsf{(a + b)}[/tex3] não é múltiplo de [tex3]\mathsf{c}[/tex3] ! Entretanto, isto contraria a hipótese.
Como queríamos demonstrar.
Devemos provar que:
[tex3]\mathsf{a + b = c \cdot (p + q) \Rightarrow b = c \cdot q}[/tex3]
Por absurdo, suponha que [tex3]\mathbf{b}[/tex3] não seja múltiplo de [tex3]\mathbf{c}[/tex3] ; assim, [tex3]\mathsf{\exists r \in \mathbb{N}^{\ast}; b = c \cdot q + r}[/tex3] .
Com efeito,
[tex3]\\ \mathsf{b = cq + r} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = a + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = cp + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = c \cdot \underbrace{(p + q)}_{\in \mathbb{N}} + r}[/tex3]
Daí, tiramos que [tex3]\mathsf{(a + b)}[/tex3] não é múltiplo de [tex3]\mathsf{c}[/tex3] ! Entretanto, isto contraria a hipótese.
Como queríamos demonstrar.
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
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