OlimpíadasAritmética - múltiplos Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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leomaxwell
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Aritmética - múltiplos

Mensagem não lida por leomaxwell »

Problema 1.21. Sejam dados números naturais a, b e c tais que a é múltiplo de c. Mostre que a + b é múltiplo de c se, e somente se, b é múltiplo de c.

Desse jeito que tentei estaria certo?

Se [tex3]a[/tex3] é múltiplo de [tex3]c[/tex3] , então [tex3]c\times p =a[/tex3] , com [tex3]p\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]a+b=c\times p+b[/tex3]
Se [tex3]b[/tex3] for múltiplo de [tex3]c[/tex3] , então teremos [tex3]b=c\times q[/tex3] , com [tex3]q\in \mathbb{N}[/tex3]
Daí,
[tex3]a+b=c\times p+c\times q[/tex3]
Pela propriedade distributiva:
[tex3]a+b=c\times (p+q)[/tex3] e concluímos que [tex3]a+b[/tex3] é múltiplo de [tex3]c[/tex3] se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] forem múltiplos de [tex3]c[/tex3]

E como faço para fazer a volta?

Obrigado desde já!



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danjr5
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Re: Aritmética - múltiplos

Mensagem não lida por danjr5 »

Olá leomaxwell!!

Devemos provar que:

[tex3]\mathsf{a + b = c \cdot (p + q) \Rightarrow b = c \cdot q}[/tex3]

Por absurdo, suponha que [tex3]\mathbf{b}[/tex3] não seja múltiplo de [tex3]\mathbf{c}[/tex3] ; assim, [tex3]\mathsf{\exists r \in \mathbb{N}^{\ast}; b = c \cdot q + r}[/tex3] .

Com efeito,

[tex3]\\ \mathsf{b = cq + r} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = a + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = cp + (cq + r)} \\\\ \mathsf{\Rightarrow a + b = c \cdot \underbrace{(p + q)}_{\in \mathbb{N}} + r}[/tex3]

Daí, tiramos que [tex3]\mathsf{(a + b)}[/tex3] não é múltiplo de [tex3]\mathsf{c}[/tex3] ! Entretanto, isto contraria a hipótese.

Como queríamos demonstrar.



"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)

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