Olimpíadas ⇒ Indução e desigualdade Tópico resolvido
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leomaxwell 
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Out 2017
16
09:08
Indução e desigualdade
Utilizando a Indução Matemática, prove que se [tex3]a< b[/tex3]
, então [tex3]a\times c < b \times c[/tex3]
, com [tex3]a,b,c \in \mathbb{N}^*[/tex3]
Última edição: leomaxwell (Seg 16 Out, 2017 12:34). Total de 1 vez.
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jrneliodias 
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Out 2017
16
14:33
Re: Indução e desigualdade
Olá, jovem.
Creio que não precisamos de indução nesse caso.
Se [tex3]a<b[/tex3] , então [tex3]b-a>0[/tex3] .
Como [tex3]c\in \mathbb{N}^*[/tex3] , então [tex3]c>0[/tex3] .
Logo, podemos multiplicar [tex3]c[/tex3] na desigualdade.
Então,
[tex3]c(b-a)>0[/tex3]
[tex3]bc-ac>0[/tex3]
[tex3]bc> ac[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Creio que não precisamos de indução nesse caso.
Se [tex3]a<b[/tex3] , então [tex3]b-a>0[/tex3] .
Como [tex3]c\in \mathbb{N}^*[/tex3] , então [tex3]c>0[/tex3] .
Logo, podemos multiplicar [tex3]c[/tex3] na desigualdade.
Então,
[tex3]c(b-a)>0[/tex3]
[tex3]bc-ac>0[/tex3]
[tex3]bc> ac[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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leomaxwell
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Out 2017
16
17:37
Re: Indução e desigualdade
Obrigado, jrneliodias !
É que vi que por indução daria um prova mais rigorosa. Me responderam isso aqui:
1) Se [tex3]c=1[/tex3] , temos
[tex3]a \times 1 < b \times 1 \rightarrow a < b[/tex3] (verdadeiro pela hipótese)
2) Se funciona para um [tex3]c=k[/tex3] , deve funcionar para um [tex3]c=k+1[/tex3]
[tex3]a\times k < b\times k[/tex3]
Somando [tex3]a[/tex3] no primeiro membro e [tex3]b[/tex3] no segundo, vem:
[tex3]a\times k + a< b\times k+ b[/tex3]
[tex3]a\times (k+1)< b\times (k+1)[/tex3]
Como queríamos provar
É que vi que por indução daria um prova mais rigorosa. Me responderam isso aqui:
1) Se [tex3]c=1[/tex3] , temos
[tex3]a \times 1 < b \times 1 \rightarrow a < b[/tex3] (verdadeiro pela hipótese)
2) Se funciona para um [tex3]c=k[/tex3] , deve funcionar para um [tex3]c=k+1[/tex3]
[tex3]a\times k < b\times k[/tex3]
Somando [tex3]a[/tex3] no primeiro membro e [tex3]b[/tex3] no segundo, vem:
[tex3]a\times k + a< b\times k+ b[/tex3]
[tex3]a\times (k+1)< b\times (k+1)[/tex3]
Como queríamos provar
Última edição: leomaxwell (Seg 16 Out, 2017 17:54). Total de 1 vez.
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jrneliodias
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Out 2017
16
17:54
Re: Indução e desigualdade
Olá, Leo.
Acontece que, por hipótese, temos
[tex3]ak < bk[/tex3]
E do enunciado, [tex3]a< b[/tex3] , então pelas propriedades de relação de ordem, podemos somar as duas inequações.
[tex3]ak +a< bk+b[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Se você quer formalidade deve tomar cuidado com essa passagem, Se eu tenho uma inequação, eu não posso somar um valor [tex3]a[/tex3] de um lado e [tex3]b[/tex3] no outro como eu quiser, se temos [tex3]3 < 5[/tex3] , não podemos escrever [tex3]3+ 10 < 5+2[/tex3] .leomaxwell escreveu: ↑Seg 16 Out, 2017 17:37
Somando [tex3]a[/tex3] no primeiro membro e [tex3]b[/tex3] no segundo, vem:
[tex3]ak + a< bk+ b[/tex3]
Acontece que, por hipótese, temos
[tex3]ak < bk[/tex3]
E do enunciado, [tex3]a< b[/tex3] , então pelas propriedades de relação de ordem, podemos somar as duas inequações.
[tex3]ak +a< bk+b[/tex3]
Espero ter ajudado. Abraço.
Para alcançar um objetivo, não procure motivação, busque a disciplina. Ela que irá fazer você levantar todos os dias para realizar seus sonhos. A motivação é o resultado, é o que sente no final do dia, quando deitar sua cabeça no travesseiro.
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