Olimpíadas ⇒ (EUA) Produtos notáveis Tópico resolvido

[leomaxwell]

(EUA) Determine a soma dos dígitos na base 10 de [tex3](10^{4n^2+8}+1)^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2[/tex3]

, sendo [tex3]n[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n[/tex3]

um inteiro positivo

Resposta

---

4

[rippertoru]

Podemos fazer:
[tex3]\mathrm{\left(10^{4n^2+8}+1 \right )^2=10^{2 \left(4n^2+8 \right )} + 2 \cdot 10^{4n^{2}+8}+1=10^{8n^2+16}+2 \cdot 10^{4n^2+8}+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\mathrm{\left(10^{4n^2+8}+1 \right )^2=10^{2 \left(4n^2+8 \right )} + 2 \cdot 10^{4n^{2}+8}+1=10^{8n^2+16}+2 \cdot 10^{4n^2+8}+1}[/tex3]

O primeiro termo terá, como ultimo algarismo, o número 1, o restante é tudo zero.
O segundo termo terá, como ultimo algarismo, o número 2, o restante é tudo zero.
O terceiro termo será 1.
Assim, a soma será 1 + 2 + 1 = 4

[Hanon]

leomaxwell, acredito que seja assim:

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{(4n^2+8)^{2}}+2\cdot 10^{4n^2+8}\cdot 1+1^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{(4n^2+8)^{2}}+2\cdot 10^{4n^2+8}\cdot 1+1^2[/tex3]

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{16n^4+64n^2+64}+2\cdot 10^{4n^2+8}+1\cdot 10^0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{16n^4+64n^2+64}+2\cdot 10^{4n^2+8}+1\cdot 10^0[/tex3]

Seja [tex3]m=16n^4+64n^2+64[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=16n^4+64n^2+64[/tex3]

e [tex3]n=4n^2+8[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=4n^2+8[/tex3]

, temos:
[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{m}+2\cdot 10^{n}+1\cdot 10^0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{m}+2\cdot 10^{n}+1\cdot 10^0[/tex3]

Veja que;
[tex3]10^{m}=100000...0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{m}=100000...0[/tex3]

(1 seguidos de "m" zeros)
[tex3]10^{n}=100000...0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]10^{n}=100000...0[/tex3]

(1 seguidos de "n" zeros), e [tex3]2\cdot 10^n=20000...0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2\cdot 10^n=20000...0[/tex3]

(2 seguido de n zeros)

Portanto a soma dos algarismos de [tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{m}+2\cdot 10^{n}+1\cdot 10^0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](10^{4n^2+8}+1)^2=10^{m}+2\cdot 10^{n}+1\cdot 10^0[/tex3]

, é:
[tex3]1+2+1=4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]1+2+1=4[/tex3]

Edit: Enquanto tava digitando o colega acima tinha enviado a solução, é a mesma ideia, mas vou deixar, de repente ajuda de alguma forma.