Olimpíadas ⇒ Desigualdade

[Andre13000]

Determine o menor número n de números reais tais que possamos escolher 2 desses números, a e b, de forma que:

[tex3]\left|\frac{a-b}{1+ab}\right|< k[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\left|\frac{a-b}{1+ab}\right|< k[/tex3]

Onde k é uma constante positiva pertencente aos reais.

[Andre13000]

[tex3]a=\tg\alpha\\
b=\tg\beta\\
|\tg(\alpha-\beta)|< k=\tg K\\
K=\arctan k;~0 \leq K \leq \frac{\pi}{2}\\
|\alpha-\beta|< K\\
-\frac{\pi}{2}\leq \alpha,\beta\leq\frac{\pi}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=\tg\alpha\\
b=\tg\beta\\
|\tg(\alpha-\beta)|< k=\tg K\\
K=\arctan k;~0 \leq K \leq \frac{\pi}{2}\\
|\alpha-\beta|< K\\
-\frac{\pi}{2}\leq \alpha,\beta\leq\frac{\pi}{2}[/tex3]

Podemos dividir o a parte superior (ou direita, como você quiser, mas é equivalente) em setores idênticos cujo ângulo é [tex3]K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K[/tex3]

, de forma que um deles tenha um ângulo um pouco maior. Podemos projetar m reais no círculo tal que estejam entre os limites dos setores, contando as extremidades, e a distância entre eles vai ser maior ou igual a [tex3]K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K[/tex3]

, onde

[tex3]m=\left\lfloor\frac{\pi}{K}+1\right\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]m=\left\lfloor\frac{\pi}{K}+1\right\rfloor[/tex3]

Agora, se projetarmos mais um real, a distância entre pelo menos dois reais terá de ser menor que [tex3]K[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]K[/tex3]

. Portanto temos que

[tex3]n=\left\lfloor\frac{\pi}{\arctan(k)}+1\right\rfloor[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]n=\left\lfloor\frac{\pi}{\arctan(k)}+1\right\rfloor[/tex3]