Determine o menor número n de números reais tais que possamos escolher 2 desses números, a e b, de forma que:
[tex3]\left|\frac{a-b}{1+ab}\right|< k[/tex3]
Onde k é uma constante positiva pertencente aos reais.
Olimpíadas ⇒ Desigualdade
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22:12
Desigualdade
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
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11:09
Re: Desigualdade
[tex3]a=\tg\alpha\\
b=\tg\beta\\
|\tg(\alpha-\beta)|< k=\tg K\\
K=\arctan k;~0 \leq K \leq \frac{\pi}{2}\\
|\alpha-\beta|< K\\
-\frac{\pi}{2}\leq \alpha,\beta\leq\frac{\pi}{2}[/tex3]
Podemos dividir o a parte superior (ou direita, como você quiser, mas é equivalente) em setores idênticos cujo ângulo é [tex3]K[/tex3] , de forma que um deles tenha um ângulo um pouco maior. Podemos projetar m reais no círculo tal que estejam entre os limites dos setores, contando as extremidades, e a distância entre eles vai ser maior ou igual a [tex3]K[/tex3] , onde
[tex3]m=\left\lfloor\frac{\pi}{K}+1\right\rfloor[/tex3]
Agora, se projetarmos mais um real, a distância entre pelo menos dois reais terá de ser menor que [tex3]K[/tex3] . Portanto temos que
[tex3]n=\left\lfloor\frac{\pi}{\arctan(k)}+1\right\rfloor[/tex3]
b=\tg\beta\\
|\tg(\alpha-\beta)|< k=\tg K\\
K=\arctan k;~0 \leq K \leq \frac{\pi}{2}\\
|\alpha-\beta|< K\\
-\frac{\pi}{2}\leq \alpha,\beta\leq\frac{\pi}{2}[/tex3]
Podemos dividir o a parte superior (ou direita, como você quiser, mas é equivalente) em setores idênticos cujo ângulo é [tex3]K[/tex3] , de forma que um deles tenha um ângulo um pouco maior. Podemos projetar m reais no círculo tal que estejam entre os limites dos setores, contando as extremidades, e a distância entre eles vai ser maior ou igual a [tex3]K[/tex3] , onde
[tex3]m=\left\lfloor\frac{\pi}{K}+1\right\rfloor[/tex3]
Agora, se projetarmos mais um real, a distância entre pelo menos dois reais terá de ser menor que [tex3]K[/tex3] . Portanto temos que
[tex3]n=\left\lfloor\frac{\pi}{\arctan(k)}+1\right\rfloor[/tex3]
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