Resolva a seguinte equação nos inteiros:
[tex3]x^2+y^2+z^2=2011[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
-
- Mensagens: 847
- Registrado em: Sáb 18 Mar, 2017 17:30
- Última visita: 02-03-22
Out 2017
13
21:54
Equação Diofantina
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
-
- Mensagens: 1483
- Registrado em: Dom 02 Ago, 2015 13:51
- Última visita: 30-09-22
Out 2017
13
22:02
Re: Equação Diofantina
Olha, eu resolvi isso antes e a resolução é bem horrível, mas vou deixar aqui. Pra ser sincero nem lembro se faz sentido do jeito que tá no arquivo que eu salvei porque eu resolvi pra mim mesmo, mas acho que tá ok.
Se eu tiver paciência, alguma hora eu tento refazer isso e achar uma solução melhor.
x²+y²+z²=2011
2011 == 1 (mod 3)
x²+y²+z² == 1 (mod 3)
Pelo pequeno teorema de Fermat, dois termos são multiplos de 3 e o outro é da forma 3k+1
Além disso, temos 3 quadrados somados dando ímpar. Para isso, temos que ter esses quadrados na forma PIP ou III.
Demonstra-se que, neste caso, eles são necessariamente da forma III, portanto temos:
(2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)²=2011
4a²+4a+4b²+4b+4c²+4c=2008
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
Seja x o número que deixa resto 1 ao ser dividido por 3. Temos então:
Caso 1: x = 3q+1
2a+1=3q+1 -> 2a=3q Conclusão: q é divisível por 2 e a é divisível por 3
2b+1=3r
2c+1=3s
2b+2c+2=3r+3s -> 2(b+c+1) = 3(r+s)
Conclusão: b+c+1 é divisível por 3 e r+s é divisível por 2
Proposição: r+s é divisível por 2
Sendo isso verdade, temos que uma soma está dando par, portanto temos dois casos:
1)r e s são pares
2)r e s são ímpares
Analisando o primeiro caso, chegamos a um absurdo, já que 2b+1=3r e se r for par, essa igualdade não é válida
Portanto: r e s são impares
Resumo das informações até agora:
-(x,y,z) são todos ímpares
-Uma das incógnitas é == 1 mod 3
-Sendo x = 2a+1; y = 2b+1; z = 2c+1, temos que:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
-Sendo x = 3q+1; y = 3r; z = 3s, temos que:
* q é múltiplo de 2
* r e s são ímpares
-Sendo 2a+1 = 3q+1; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível porr 3
* b+c+1 é divisível por 3
Proposição: b == c == 1 (mod 3)
Temos que:
2b+1 = 3r
2b+1 == 3r (mod 3)
2b+1 == 0 (mod 3)
2b == -1 (mod 3)
2b == 2 (mod 3)
b == 1 (mod 3)
Analogamente, c == 1 (mod 3)
Re-escrevendo a equação inicial:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
3f(3f+1) + (3g+1)(3g+2) + (3h+1)(3h+2) = 502
Caso 2: x = 3k+2
-Sendo 2a+1 = 3q+2; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
2a+1=3q+2 -> 2a=3q+1 -> q é ímpar e a == 2 (mod 3)
x²+y²+z²=2011
Resumo das informações até agora:
-(x,y,z) são todos ímpares
-Uma das incógnitas é == 1 mod 3
-Sendo x = 2a+1; y = 2b+1; z = 2c+1, temos que:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
-Sendo x = 3q+1; y = 3r; z = 3s, temos que:
* q é múltiplo de 2
* r e s são ímpares
-Sendo 2a+1 = 3q+1; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível por 3
* b+c+1 é divisível por 3
* b == 1 (mod 3)
* c == 1 (mod 3)
-Sendo 2a+1 = 3q+2; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível por 3
* b+c+1 é divisível por 3
* b == 1 (mod 3)
* c == 1 (mod 3)
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
a = 3 ->
12 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 490
b=10 ->
110 + c(c+1) = 490
c(c+1) = 380
c=19
S=(3,10,19)
a = 6
42 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 460
Sem solução
a = 9
90 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 412
Sem soluçção
a = 12
156 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 346
Sem solução
a = 15
240 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 262
Sem solução
a = 18
342 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 160
Sem solução
a = 21
462 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 40
b = 4
c(c+1) = 20
c = 4
S=(21,4,4)
a = 24
S=(3,10,19)
x = 7
y = 21
z = 39
S=(21,4,4)
x = 43
y = 9
z = 9
Para a = 3k+2:
a = 14 (3k+2 -> 3*4+2)
90 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 292
b = 4
c(c+1) = 272
c = 16
S = (14,4,16)
b = 13
c(c+1) = 110
c = 10
S = (14,13,10)
;;;; Tipo: x=3a+1, y=3b, z=3c
;S=(3,10,19)
;x = 7
;y = 21
;z = 39
;
;S=(21,4,4)
;x = 43
;y = 9
;z = 9
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;; Tipo: x=3a+2, y=3b, z=3c
;S = (14,4,16)
;x = 29
;y = 9
;z = 33
;
;S = (14,13,10)
;x = 29
;y = 27
;z = 21
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Soluções:
S=(+-7,+-21,+-39) ok
S=(+-43,+-9,+-9) ok
S=(+-29,+-9,+-33) ok
S=(+-29,+-27,+-21) ok
Se eu tiver paciência, alguma hora eu tento refazer isso e achar uma solução melhor.
Resposta
x²+y²+z²=2011
2011 == 1 (mod 3)
x²+y²+z² == 1 (mod 3)
Pelo pequeno teorema de Fermat, dois termos são multiplos de 3 e o outro é da forma 3k+1
Além disso, temos 3 quadrados somados dando ímpar. Para isso, temos que ter esses quadrados na forma PIP ou III.
Demonstra-se que, neste caso, eles são necessariamente da forma III, portanto temos:
(2a+1)²+(2b+1)²+(2c+1)²=2011
4a²+4a+4b²+4b+4c²+4c=2008
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
Seja x o número que deixa resto 1 ao ser dividido por 3. Temos então:
Caso 1: x = 3q+1
2a+1=3q+1 -> 2a=3q Conclusão: q é divisível por 2 e a é divisível por 3
2b+1=3r
2c+1=3s
2b+2c+2=3r+3s -> 2(b+c+1) = 3(r+s)
Conclusão: b+c+1 é divisível por 3 e r+s é divisível por 2
Proposição: r+s é divisível por 2
Sendo isso verdade, temos que uma soma está dando par, portanto temos dois casos:
1)r e s são pares
2)r e s são ímpares
Analisando o primeiro caso, chegamos a um absurdo, já que 2b+1=3r e se r for par, essa igualdade não é válida
Portanto: r e s são impares
Resumo das informações até agora:
-(x,y,z) são todos ímpares
-Uma das incógnitas é == 1 mod 3
-Sendo x = 2a+1; y = 2b+1; z = 2c+1, temos que:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
-Sendo x = 3q+1; y = 3r; z = 3s, temos que:
* q é múltiplo de 2
* r e s são ímpares
-Sendo 2a+1 = 3q+1; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível porr 3
* b+c+1 é divisível por 3
Proposição: b == c == 1 (mod 3)
Temos que:
2b+1 = 3r
2b+1 == 3r (mod 3)
2b+1 == 0 (mod 3)
2b == -1 (mod 3)
2b == 2 (mod 3)
b == 1 (mod 3)
Analogamente, c == 1 (mod 3)
Re-escrevendo a equação inicial:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
3f(3f+1) + (3g+1)(3g+2) + (3h+1)(3h+2) = 502
Caso 2: x = 3k+2
-Sendo 2a+1 = 3q+2; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
2a+1=3q+2 -> 2a=3q+1 -> q é ímpar e a == 2 (mod 3)
x²+y²+z²=2011
Resumo das informações até agora:
-(x,y,z) são todos ímpares
-Uma das incógnitas é == 1 mod 3
-Sendo x = 2a+1; y = 2b+1; z = 2c+1, temos que:
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
-Sendo x = 3q+1; y = 3r; z = 3s, temos que:
* q é múltiplo de 2
* r e s são ímpares
-Sendo 2a+1 = 3q+1; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível por 3
* b+c+1 é divisível por 3
* b == 1 (mod 3)
* c == 1 (mod 3)
-Sendo 2a+1 = 3q+2; 2b+1 = 3r; 2c+1 = 3s, temos que:
* a é divisível por 3
* b+c+1 é divisível por 3
* b == 1 (mod 3)
* c == 1 (mod 3)
a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 502
a = 3 ->
12 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 490
b=10 ->
110 + c(c+1) = 490
c(c+1) = 380
c=19
S=(3,10,19)
a = 6
42 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 460
Sem solução
a = 9
90 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 412
Sem soluçção
a = 12
156 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 346
Sem solução
a = 15
240 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 262
Sem solução
a = 18
342 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 160
Sem solução
a = 21
462 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 40
b = 4
c(c+1) = 20
c = 4
S=(21,4,4)
a = 24
S=(3,10,19)
x = 7
y = 21
z = 39
S=(21,4,4)
x = 43
y = 9
z = 9
Para a = 3k+2:
a = 14 (3k+2 -> 3*4+2)
90 + b(b+1) + c(c+1) = 502
b(b+1) + c(c+1) = 292
b = 4
c(c+1) = 272
c = 16
S = (14,4,16)
b = 13
c(c+1) = 110
c = 10
S = (14,13,10)
;;;; Tipo: x=3a+1, y=3b, z=3c
;S=(3,10,19)
;x = 7
;y = 21
;z = 39
;
;S=(21,4,4)
;x = 43
;y = 9
;z = 9
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;; Tipo: x=3a+2, y=3b, z=3c
;S = (14,4,16)
;x = 29
;y = 9
;z = 33
;
;S = (14,13,10)
;x = 29
;y = 27
;z = 21
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
Soluções:
S=(+-7,+-21,+-39) ok
S=(+-43,+-9,+-9) ok
S=(+-29,+-9,+-33) ok
S=(+-29,+-27,+-21) ok
Última edição: undefinied3 (Sex 13 Out, 2017 22:08). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 14 Respostas
- 2302 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 2 Respostas
- 438 Exibições
-
Última msg por petras
-
- 1 Respostas
- 157 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 1 Respostas
- 97 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin
-
- 3 Respostas
- 134 Exibições
-
Última msg por FelipeMartin