Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Capixaba - 1999) Floresta

[ALDRIN]

Um matemático está perdido numa floresta situada numa região plana convexa e de área [tex3]A \text{ km}^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A \text{ km}^2[/tex3]

. Mostre que é possível que ele saia da floresta andando no máximo uma distância igual a [tex3]2\sqrt{\pi.A} \text{ km}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt{\pi.A} \text{ km}[/tex3]

.

[rean]

Solução: De qualquer ponto que ele esteja, no interior da floresta, basta que ele ande ao longo de uma circunferência que limita uma área igual a A. Se ele não sair da floresta, ele retornará ao ponto inicial e circundaria uma região circular de área A, a qual faz parte da floresta, pois ela é convexa. Mas isto implicaria que a floresta tem área maior do que A. Logo, andando ao longo dessa circunferência, cujo perímetro é igual a [tex3]2\sqrt {\pi.A}\text{km}[/tex3]

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[tex3]2\sqrt {\pi.A}\text{km}[/tex3]

, ele com certeza sairá da floresta.