OlimpíadasSistema de equações

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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mateusITA
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Dez 2017 14 17:53

Re: Sistema de equações

Mensagem não lida por mateusITA »

Da primeira equação, podemos escrever

I) [tex3]x = \frac{3}{\sqrt{y}}-y[/tex3]

Uma vez que [tex3]x\in \mathbb{R}[/tex3] , [tex3]y[/tex3] deve ser maior que 0 (para [tex3]y=0[/tex3] , temos que [tex3]0=9[/tex3] e [tex3]0=7[/tex3] )

[tex3]x^3 = \frac{27}{\sqrt{y^3}}-27+9\sqrt{y^3}-y^3[/tex3]
[tex3]x^3-y^3 = \frac{27}{\sqrt{y^3}}-27+9\sqrt{y^3}-2y^3[/tex3]
[tex3]y(x^3-y^3) = \frac{27}{\sqrt{y}}-27y+9\sqrt{y^5}-2y^4[/tex3]

Fazendo [tex3]k=\sqrt{y}[/tex3] :

[tex3]\frac{27}{k}-27k^2+9k^5-2k^8=7[/tex3]
[tex3]2k^9-9k^6+27k^3+7k-27=0[/tex3]

Por inspeção, [tex3]k=1[/tex3] é raiz da equação:

[tex3]\begin{array}{c|c}
& 2 \\
\hline
1 & 2
\end{array}
\begin{matrix}
0 & 0 & -9 & 0 & 0 & 27 & 0 \\
\hline
2 & 2 & -7 & -7 & -7 & 20 & 20
\end{matrix}
\begin{array}{c|c}
7 & -27 \\
\hline
27 & 0
\end{array}[/tex3]

[tex3]2k^8+2k^7+2k^6-7k^5-7k^4-7k^3+20k^2+20k+27=0[/tex3]
[tex3]2k^6(k^2+k+1)-7k^3(k^2+k+1)+20(k^2+k+1)+7=0[/tex3]
[tex3](k^2+k+1)(2k^6-7k^3+20)=-7[/tex3]

[tex3]f(k)=k^2+k+1[/tex3] é uma função quadrática com [tex3]\Delta <0[/tex3] e como o coeficiente de [tex3]k^2[/tex3] é maior que 0, a função é positiva para todo [tex3]k[/tex3] . Analogamente, [tex3]g(k)=2k^6-7k^3+20[/tex3] também é positiva para todo [tex3]k[/tex3] . Logo, a equação [tex3](k^2+k+1)(2k^6-7k^3+20)=-7[/tex3] não tem solução real.

Para [tex3]k=1[/tex3] , [tex3]\boxed{\boxed{y=1}}[/tex3] e [tex3]\boxed{\boxed{x=2}}[/tex3] .

II) [tex3]x = -\frac{3}{\sqrt{y}}-y[/tex3]

[tex3]x^3 = -\frac{27}{\sqrt{y^3}}-27-9\sqrt{y^3}-y^3[/tex3]
[tex3]x^3-y^3 = -\frac{27}{\sqrt{y^3}}-27-9\sqrt{y^3}-2y^3[/tex3]
[tex3]y(x^3-y^3) = -\frac{27}{\sqrt{y}}-27y-9\sqrt{y^5}-2y^4[/tex3]

Fazendo [tex3]k=\sqrt{y}[/tex3] :

[tex3]\frac{27}{k}+27k^2+9k^5+2k^8=-7[/tex3]
[tex3]2k^9+9k^6+27k^3+7k+27=0[/tex3]

Como [tex3]k>0[/tex3] , não há solução.




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undefinied3
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Dez 2017 14 17:57

Re: Sistema de equações

Mensagem não lida por undefinied3 »

Perfeito. Infelizmente parece que tem um bug no forum que faz não aparecer o "aceitar solução" a partir da segunda página de mensagens, então não consigo marcar sua solução.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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