Olimpíadas ⇒ Análise Combinatória (OAM) Tópico resolvido

[HHHoppe]

Olimpíada Americana) Seja S o conjunto dos pontos (a,b) do plano cartesiano, tais que a e b podem ser iguais a -1, 0 ou 1. Quantas retas passam por pelo menos dois pontos de S?

R: 20.

Não compreendo a questão, visto que, ao meu ver, bastaria fazer C9,2 = 36.
Os 9 pontos foram um quadrado e suas diagonais no plano cartesiano, e fazendo esta combinação pode-se englobar todas as retas formadas por 2 ou 3 pontos de S. Não há como uma reta passar por mais de 3 dos pontos.

[rippertoru]

Olá.

Considerando todas as retas com 3 que contêm 3 pontos, temos 8 possibilidades (Numerado com 1 e 2), considerando apenas retas com 2 pontos, temos a situação 3, onde pode-se formar 4 retas partindo de (0,1) e mais 4 retas do ponto simetricamente oposto (0,-1), formando mais 8 possibilidades. Por fim desconsiderando as repetições chega-se as retas considerando os cantos, formando mais 4 possibilidades.
Somando tudo: 8 + 4 + 4 + 4 = 20 possibilidades.

[HHHoppe]

Muito obrigado rippertoru. Com os seus desenhos ficou bastante fácil a visualização.

Poderia me explicar o porquê da falha em simplesmente utilizar-se de C9,2? O que está sendo contabilizado inadequadamente?

[HHHoppe]

Ah, entendi. É impossível que uma reta passe por, por exemplo, somente o ponto da esquerda inferior e o ponto do meio inferior. Ela certamente irá passar também pelo ponto da direita inferior.
Eu estava considerando segmentos de reta, e não retas contínuas...