Olimpíadas ⇒ Somatório Tópico resolvido

[Andre13000]

Prove que:

[tex3]\sum_{i_n=1}^x\sum_{i_{n-1}=1}^{i_n}\dots\sum_{i_2=1}^{i_3}\sum_{i_1=1}^{i_2}\sum_{i_0=1}^{i_1}1=\frac{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}{1\cdot 2\cdot 3\dots (n+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{i_n=1}^x\sum_{i_{n-1}=1}^{i_n}\dots\sum_{i_2=1}^{i_3}\sum_{i_1=1}^{i_2}\sum_{i_0=1}^{i_1}1=\frac{x(x+1)(x+2)\dots(x+n)}{1\cdot 2\cdot 3\dots (n+1)}[/tex3]

[Andre13000]

Basta notar que:

[tex3]\sum_{k=1}^n 1=n\\
\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^n 1=n\\
\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}[/tex3]

Ou seja, basta provar que [tex3]\sum_{k=1}^n k(k+1)\dots (k+p-1)=\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^n k(k+1)\dots (k+p-1)=\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}[/tex3]

[tex3]\Delta \sum_{k=1}^n k(k+1)\dots (k+p-1)=(n+1)(n+2)\dots (n+p)\\
\Delta\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}= \frac{(n+1)(n+2)\dots (n+p+1)}{p+1}-\frac{n(n+1)\dots (n+p)}{p+1}\\
\Delta\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}=\frac{(n+1)\dots (n+p)}{p+1}\(n+p+1-n\)=(n+1)(n+2)\dots (n+p)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta \sum_{k=1}^n k(k+1)\dots (k+p-1)=(n+1)(n+2)\dots (n+p)\\
\Delta\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}= \frac{(n+1)(n+2)\dots (n+p+1)}{p+1}-\frac{n(n+1)\dots (n+p)}{p+1}\\
\Delta\frac{n(n+1)\dots(n+p)}{p+1}=\frac{(n+1)\dots (n+p)}{p+1}\(n+p+1-n\)=(n+1)(n+2)\dots (n+p)[/tex3]

Portanto basta checar se é verdadeiro para o caso n=1, e de fato é.

Obs: [tex3]\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Delta f(n)=f(n+1)-f(n)[/tex3]

. Utilizei isso para medir o tamanho do "passo" da função. Se elas sempre tem o mesmo passo, crescem sempre do mesmo jeito. Então, basta verificar que são iguais em um ponto para concluir que são iguais em todos.