Olimpíadas ⇒ Treinamento Olímpico - UFRGS - Funções III

[Auto Excluído (ID:19191)]

Seja a função f : Z → Z dada por f (n) = n +3 para os n ímpares, e por f (n) = n/2 para os n pares.
Pede-se provar que existe exatamente um k ímpar tal que f (f (f (k))) = 27. Feito isso, achar a soma
dos dígitos da representação decimal de tal k.

[Andre13000]

Acho que são 2 possibilidades. Faça a função inversa, dá uma pequena árvore de possibilidades. Daqui a pouco posto como faz.

[Auto Excluído (ID:19191)]

Já encontrei a resposta ! Eu consegui acertar,mas tinha minhas dúvidas, pois a lista não tem gabarito ( Ou não tinha quando procurei pela primeira vez). Segue a minha resolução :

f(n) = n + 3, para n ímpar -> f(n) = 3 + Ímpar -> f(n) é par
f(n) = n/2, para n par -> f(n) = n/2 -> f(n) é ímpar, se n = 2y, com y ímpar. f(n) é par, se n = 2y, com y par.

f(f(f(k))) = 27 , f(f(f(k))) = f(y) => y = f(f(k))
f(y) é ímpar -> f(y) = y/2 = 27 -> y = 54

f(f(k)) = 54, f(f(k)) = x => x = f(k)
f(x) é par, temos duas possibilidades
f(x) = x + 3 = 54 => x = 51 => f(k) = 51 => k = 102
f(x) = x/2 = 54 => x = 108 => f(k) = 108 => k = 105 ou k = 216

Só há um valor ímpar de k que satisfaz as condições do problema. A soma dos dígitos da representação decimal desse k é 1 + 0 + 5 = 6.