Olimpíadas ⇒ Somatório Tópico resolvido

[jrneliodias]

O número [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

é dado pela expressão abaixo:

[tex3]\frac{1}{x}=\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}+\cdots+\frac{1}{4030^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x}=\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2017^2}+\frac{1}{2018^2}+\cdots+\frac{1}{4030^2}[/tex3]

Qual dos seguintes números é o mais proximo de [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

?

a) 2015
b) 2016
c) 3024
d) 4029
e) 4031

Resposta

---

Letra E

Obrigado pela atenção.

[undefinied3]

Minha ideia é utilizar o fato de que, para números grandes, [tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n^2}[/tex3]

pode ser aproximado pela integral dessa função.

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Veja como para valores pequenos de n, a área da curva já aproxima bem a área dos retângulos, que são exatamente [tex3]1.\frac{1}{n^2}[/tex3]

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[tex3]1.\frac{1}{n^2}[/tex3]

. Com [tex3]n \geq 2016[/tex3]

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[tex3]n \geq 2016[/tex3]

, o erro já será praticamente desprezível, então poderemos estar seguros quanto ao resultado, pois ele pouco fugirá do valor real. Sendo assim:

[tex3]\frac{1}{x} \approx \int_{2016}^{4031}\frac{1}{n^2}dn=\left (-\frac{1}{n} \right ) |_{2016}^{4031}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{x} \approx \int_{2016}^{4031}\frac{1}{n^2}dn=\left (-\frac{1}{n} \right ) |_{2016}^{4031}[/tex3]

[tex3]x \approx \frac{1}{\frac{1}{2016}-\frac{1}{4031}} \approx 4033[/tex3]

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[tex3]x \approx \frac{1}{\frac{1}{2016}-\frac{1}{4031}} \approx 4033[/tex3]

Portanto letra E.