OlimpíadasPOTI (Nível 2) - Produtos Notáveis e Paridade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Set 2017 05 16:28

POTI (Nível 2) - Produtos Notáveis e Paridade

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19191) »

Seja D = a² + b² + c² , sendo a e b inteiros consecutivos e c = ab. Mostre que [tex3]\sqrt{D}[/tex3] é sempre um inteiro ímpar.

Alguém tem alguma solução mais 'rápida' ?
Vejam se minha solução está errada em algum ponto, se estiver, corrijam-me por favor. Agradeço desde já !

Minha solução :
Mostrar que [tex3]\sqrt{D}[/tex3] é ímpar equivale a mostrar que D é ímpar,neste caso, usando os dados do enunciado,temos :
D = a² + b² + c² => D + 2ab = (a + b)² + c² => D = (a + b)² + c² - 2c => D - 1 = (a + b)² + (c - 1)²
Analisando os casos de paridade :

D - 1 é ímpar (D é par) => (a + b)² + (c - 1)² é ímpar => (a + b)² e (c - 1)² tem paridades diferentes
1) (a + b)² -> é par,logo a e b tem paridades iguais | (c - 1)² é ímpar,logo c é par
2) (a + b)² -> é ímpar,logo a e b tem paridades diferentes | (c - 1)² é par,logo c é ímpar
Mas c = ab
par = impar x ímpar, par = par x par (F)
ou
ímpar = par x ímpar , ímpar = ímpar x par (F)

É falso,logo
D - 1 (D é par) não pode ser ímpar,então D - 1 é par => D é ímpar => [tex3]\sqrt{D}[/tex3] é ímpar

Última edição: Auto Excluído (ID:19191) (Ter 05 Set, 2017 16:33). Total de 1 vez.



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undefinied3
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Re: POTI (Nível 2) - Produtos Notáveis e Paridade

Mensagem não lida por undefinied3 »

Não vi erro na sua solução de paridade, mas veja que em motivo nenhum você provou o essencial antes de partir para paridade: que [tex3]\sqrt{D}[/tex3] é inteiro.
Veja, sua solução vai por um caminho mais difícil. É importante utilizarmos tudo que o enunciado nos dá antes de partirmos para a prova do desejado.

Primeira coisa: a e b são inteiros consecutivos. Então tome, sem perda de generalidade, [tex3]a=k[/tex3] e [tex3]b=k+1[/tex3] .
Segunda coisa: [tex3]c=ab[/tex3] , então [tex3]c=k(k+1)=k^2+k[/tex3]

Agora substituímos tudo na equação de [tex3]D[/tex3] :
[tex3]D=a^2+b^2+c^2=k^2+(k+1)^2+(k^2+k)^2=k^2+k^2+2k+1+k^4+2k^3+k^2=k^4+2k^3+3k^2+2k+1[/tex3]
Está vendo como a equação é simétrica? Isso é importante, pois trata-se de uma equação recíproca que pode ser resolvida com a substituição [tex3]y=k+\frac{1}{k}[/tex3] . Veja que isso implica [tex3]y^2=k^2+2+\frac{1}{k^2}[/tex3]
[tex3]D=k^4+2k^3+3k^2+2k+1 \rightarrow \frac{D}{k^2}=k^2+2k+3+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2}=y^2+1+2y=(y+1)^2[/tex3]
[tex3]D=k^2(y+1)^2=(ky+k)^2=(k.(k+\frac{1}{k})+k)^2=(k^2+k+1)^2[/tex3]
Então [tex3]\sqrt{D}=k^2+k+1[/tex3] , e provamos que tal número é um inteiro, pois k é inteiro.
Agora, para provarmos que [tex3]\sqrt{D}[/tex3] é ímpar, veja:
[tex3]k^2+k+1=k(k+1)+1[/tex3]
Obviamente k e k+1 possuem paridades distintas, portanto seu produto será par, pois um deles é par. Ao somarmos 1 ao resultado, ele sempre será ímpar. E assim está demonstrado.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:19191)
6 - Doutor
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Set 2017 06 01:15

Re: POTI (Nível 2) - Produtos Notáveis e Paridade

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19191) »

Agradeço pela resposta. Estou iniciando agora nesse mundo de olimpíadas. Problemas olímpicos são meio 'diferentes' do que estamos acostumados a resolver em escolas e vestibulares :D




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