Olimpíadas ⇒ Demonstração de Irracionalidade Tópico resolvido
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Ago 2017
17
22:21
Demonstração de Irracionalidade
Demonstre que: [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3]
é um número irracional.-
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Ago 2017
17
23:05
Re: Demonstração de Irracionalidade
[tex3]x=\sqrt{2}+\sqrt{3} \rightarrow x^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6} \rightarrow (x^2-5)^2=24 \rightarrow x^4-10x^2+25=24[/tex3]
[tex3]\therefore x^4-10x^2+1=0[/tex3]
Se tal valor for racional, então esse polinômio deve ter uma raiz racional. Pelo teorema das raízes racionais, verifica-se que não existem tais raízes (as opções são [tex3]\pm 1[/tex3] ). Segue que [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3] é irracional.
[tex3]\therefore x^4-10x^2+1=0[/tex3]
Se tal valor for racional, então esse polinômio deve ter uma raiz racional. Pelo teorema das raízes racionais, verifica-se que não existem tais raízes (as opções são [tex3]\pm 1[/tex3] ). Segue que [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3] é irracional.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Ago 2017
17
23:36
Re: Demonstração de Irracionalidade
Grato pela ajuda undefinied3. Teria como demonstrar por absurdo ?
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Ago 2017
17
23:54
Re: Demonstração de Irracionalidade
Sim. Suponha que [tex3]a=\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3]
seja racional. Então [tex3]a^2=5+2\sqrt{6}[/tex3]
também deve ser, mas isso é um absurdo, pois 5 é racional e [tex3]\sqrt{6}[/tex3]
é irracional.Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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