OlimpíadasDemonstração de Irracionalidade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Ago 2017 17 22:21

Demonstração de Irracionalidade

Mensagem não lida por Hanon »

Demonstre que: [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3] é um número irracional.




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undefinied3
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Ago 2017 17 23:05

Re: Demonstração de Irracionalidade

Mensagem não lida por undefinied3 »

[tex3]x=\sqrt{2}+\sqrt{3} \rightarrow x^2=2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6} \rightarrow (x^2-5)^2=24 \rightarrow x^4-10x^2+25=24[/tex3]
[tex3]\therefore x^4-10x^2+1=0[/tex3]
Se tal valor for racional, então esse polinômio deve ter uma raiz racional. Pelo teorema das raízes racionais, verifica-se que não existem tais raízes (as opções são [tex3]\pm 1[/tex3] ). Segue que [tex3]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3] é irracional.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Hanon
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Ago 2017 17 23:36

Re: Demonstração de Irracionalidade

Mensagem não lida por Hanon »

Grato pela ajuda undefinied3. Teria como demonstrar por absurdo ?



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undefinied3
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Re: Demonstração de Irracionalidade

Mensagem não lida por undefinied3 »

Sim. Suponha que [tex3]a=\sqrt{2}+\sqrt{3}[/tex3] seja racional. Então [tex3]a^2=5+2\sqrt{6}[/tex3] também deve ser, mas isso é um absurdo, pois 5 é racional e [tex3]\sqrt{6}[/tex3] é irracional.



Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Movido de IME / ITA para Olimpíadas em Qui 31 Ago, 2017 13:12 por ALDRIN

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