Olimpíadas ⇒ Divisibilidade

[Hanon]

Encontre todos os inteiros positivos [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

tal que: [tex3]2^n-1 \ | \ 3^n-1[/tex3]

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[tex3]2^n-1 \ | \ 3^n-1[/tex3]

.

[leomaxwell]

Olá,
Não terminei de estudar divisibilidade ainda, mas será que usar a fatoração [tex3](a^n-1)=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)[/tex3]

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[tex3](a^n-1)=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)[/tex3]

leva em algum lugar?
ficaria:
[tex3]2^{n-1}+2^{n-2}+...+3 \ |\ 2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+4) [/tex3]

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[tex3]2^{n-1}+2^{n-2}+...+3 \ |\ 2(3^{n-1}+3^{n-2}+...+4) [/tex3]

De qualquer forma, up

[Andre13000]

Parece que não. A ideia seria esta:

[tex3]2^n-1|3^n-1\\
\text{mas}\\
2^{n}-1|2^n-1\\
2^n-1|k2^n-k\\
2^n-1|3^n-1+k 2^n-k\\
2^n-1|3^n+k2^n-(k+1)[/tex3]

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[tex3]2^n-1|3^n-1\\
\text{mas}\\
2^{n}-1|2^n-1\\
2^n-1|k2^n-k\\
2^n-1|3^n-1+k 2^n-k\\
2^n-1|3^n+k2^n-(k+1)[/tex3]

Depois eu tentaria adotar k tal que [tex3]3^n+k2^{n}-(k+1)\leq 2^n-1[/tex3]

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[tex3]3^n+k2^{n}-(k+1)\leq 2^n-1[/tex3]

, mas parece não ser possível.