OlimpíadasEquação Diofantina III Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Jul 2017 26 13:53

Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Hanon » Qua 26 Jul, 2017 13:53

(OBM - 2006) Encontre todos os pares ordenados ( [tex3]x,\ y[/tex3] ) de inteiros tais que [tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]




Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Qua 26 Jul, 2017 21:46

uma solução trivial é (x,x), quando y=x.
As outras:
[tex3](x^2+y^2+xy)=3(x+y)[/tex3]
Seja [tex3]d=mdc(x,y) , x=x'd[/tex3] e [tex3] y=y'd[/tex3] então
[tex3](x'^2+y'^2+x'y')d = 3(x'+y')[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3]x'+y'[/tex3] então [tex3]x'+y' =nd[/tex3] e [tex3]x'^2+y'^2+2x'y' = n^2d^2[/tex3]
[tex3](n^2d^2-x'y')d = 3nd[/tex3] logo [tex3]n^2d^2-x'y'=3n[/tex3] logo [tex3]x'y' = n(nd^2-3)[/tex3]
logo x' e y' são raízes de [tex3]z^2-ndz+n(nd^2-3)=0[/tex3]
isso implica que [tex3]z[/tex3] é divisível por n, logo x' e y' também o são. Mas isso contraria o fato de d ser o mdc de (x,y).
A menos que [tex3]n=1[/tex3] dai [tex3]z^2-dz+d^2-3=0 \rightarrow (z-\frac d2)^2+3\frac{d^2}4-3 = 0 \rightarrow (z-\frac d2)^2 =\frac{3}{4}(4-d^2)[/tex3]
de onde deveríamos ter [tex3]d=2 \rightarrow z=1\rightarrow x=y[/tex3] ou [tex3]d=1[/tex3] mas dai ou x ou y seria negativo.
Portanto a única solução que existe é a trivial, x=y.
Talvez eu tenha desprezado o caso onde d é múltiplo de 3, vou verificá-lo em breve.
Se [tex3]d=3[/tex3] então [tex3]x'^2 + y'^2+x'y' = x'+y'[/tex3]
aplicando mod x' dos dois lados [tex3]y'^2 \equiv y' \mod x' \rightarrow y'^n\equiv y' \mod x'[/tex3]
então [tex3]y'^n = a(n)*x'+y'[/tex3] para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]y'(y'^{n-1}-1) = a(n)x'[/tex3]
como x' e y' são primos entre si, a(n) deve dar conta do y' do lado esquerdo.
logo [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'^{n-1}-1[/tex3] para todo n natural.
Em particular, [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3]
e analogamente, [tex3]y'[/tex3] divide [tex3]x'-1[/tex3] absurdo. Pois se [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3] então [tex3]x'<y'[/tex3] e analogamente [tex3]y'<x'[/tex3] .
Acho que isso resolve o problema completamente.

Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qua 26 Jul, 2017 22:45). Total de 5 vezes.



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Lonel
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Jul 2017 27 08:30

Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Lonel » Qui 27 Jul, 2017 08:30

Resolvi de uma outra maneira.

Fatorando:

[tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]

Com [tex3]x-y\not=0[/tex3] , temos que:

[tex3]x^2+xy+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)-3(x+y)=-y^2[/tex3]

Multiplicando a equação por [tex3]-1[/tex3] :

[tex3]-x(x+y)+3(x+y)=y^2[/tex3]
[tex3](x+y)(3-x)=y^2[/tex3]
[tex3]3x-x^2+3y-xy=y^2[/tex3]

Note que para aparecer um termo [tex3]y^2[/tex3] , temos que [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] . Mas como [tex3]x-y\not=0[/tex3] , então só podemos testar [tex3]x=-y[/tex3] :

[tex3]-3y-(-y)^2+3y-(-y)y=y^2[/tex3]
[tex3]-y^2+y^2+3y-3y=y^2[/tex3]
[tex3]y^2=0[/tex3]

Mas isso implica que [tex3]y=0[/tex3] , então [tex3]x=0[/tex3] pois [tex3]x=-y[/tex3] , mas isso é um absurdo pois estamos procurando por soluções que [tex3]x-y\not=0[/tex3] . Assim, não existe solução para [tex3]x\not=y[/tex3] , logo os únicos pares possíveis são [tex3](x,x)[/tex3] ou [tex3](y,y)[/tex3] , quando [tex3]x=y[/tex3] .
Última edição: Lonel (Qui 27 Jul, 2017 08:32). Total de 3 vezes.



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Jul 2017 27 08:37

Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) » Qui 27 Jul, 2017 08:37

a verdade é que há soluções não triviais, eu mandei uma mensagem pro Hanon explicando meu erro.
Tem que ser considerados os inteiros negativos.



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Jul 2017 27 08:46

Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Lonel » Qui 27 Jul, 2017 08:46

Então onde esta meu erro?



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Jul 2017 27 09:05

Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Lonel » Qui 27 Jul, 2017 09:05

Opa, viajei legal quando afirmei que as únicas soluções possíveis para aquela equação seriam [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] , pois se [tex3]x=y+k[/tex3] também apareceria um [tex3]y^2[/tex3] , com [tex3]k\not=0[/tex3] , etc. Botei no google e achei uma solução bem legal aqui.
Última edição: Lonel (Qui 27 Jul, 2017 09:06). Total de 1 vez.



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Jul 2017 27 10:22

Re: Equação Diofantina III

Mensagem não lida por Hanon » Qui 27 Jul, 2017 10:22

Muito obrigado sousóeu e Lonel. :D :D




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