Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina III Tópico resolvido
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Hanon
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Jul 2017
26
13:53
Equação Diofantina III
(OBM - 2006) Encontre todos os pares ordenados ( [tex3]x,\ y[/tex3]
) de inteiros tais que [tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Jul 2017
26
21:46
Re: Equação Diofantina III
uma solução trivial é (x,x), quando y=x.
As outras:
[tex3](x^2+y^2+xy)=3(x+y)[/tex3]
Seja [tex3]d=mdc(x,y) , x=x'd[/tex3] e [tex3]y=y'd[/tex3] então
[tex3](x'^2+y'^2+x'y')d = 3(x'+y')[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3]x'+y'[/tex3] então [tex3]x'+y' =nd[/tex3] e [tex3]x'^2+y'^2+2x'y' = n^2d^2[/tex3]
[tex3](n^2d^2-x'y')d = 3nd[/tex3] logo [tex3]n^2d^2-x'y'=3n[/tex3] logo [tex3]x'y' = n(nd^2-3)[/tex3]
logo x' e y' são raízes de [tex3]z^2-ndz+n(nd^2-3)=0[/tex3]
isso implica que [tex3]z[/tex3] é divisível por n, logo x' e y' também o são. Mas isso contraria o fato de d ser o mdc de (x,y).
A menos que [tex3]n=1[/tex3] dai [tex3]z^2-dz+d^2-3=0 \rightarrow (z-\frac d2)^2+3\frac{d^2}4-3 = 0 \rightarrow (z-\frac d2)^2 =\frac{3}{4}(4-d^2)[/tex3]
de onde deveríamos ter [tex3]d=2 \rightarrow z=1\rightarrow x=y[/tex3] ou [tex3]d=1[/tex3] mas dai ou x ou y seria negativo.
Portanto a única solução que existe é a trivial, x=y.
Talvez eu tenha desprezado o caso onde d é múltiplo de 3, vou verificá-lo em breve.
Se [tex3]d=3[/tex3] então [tex3]x'^2 + y'^2+x'y' = x'+y'[/tex3]
aplicando mod x' dos dois lados [tex3]y'^2 \equiv y' \mod x' \rightarrow y'^n\equiv y' \mod x'[/tex3]
então [tex3]y'^n = a(n)*x'+y'[/tex3] para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]y'(y'^{n-1}-1) = a(n)x'[/tex3]
como x' e y' são primos entre si, a(n) deve dar conta do y' do lado esquerdo.
logo [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'^{n-1}-1[/tex3] para todo n natural.
Em particular, [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3]
e analogamente, [tex3]y'[/tex3] divide [tex3]x'-1[/tex3] absurdo. Pois se [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3] então [tex3]x'<y'[/tex3] e analogamente [tex3]y'<x'[/tex3] .
Acho que isso resolve o problema completamente.
As outras:
[tex3](x^2+y^2+xy)=3(x+y)[/tex3]
Seja [tex3]d=mdc(x,y) , x=x'd[/tex3] e [tex3]y=y'd[/tex3] então
[tex3](x'^2+y'^2+x'y')d = 3(x'+y')[/tex3]
então [tex3]d[/tex3] divide [tex3]x'+y'[/tex3] então [tex3]x'+y' =nd[/tex3] e [tex3]x'^2+y'^2+2x'y' = n^2d^2[/tex3]
[tex3](n^2d^2-x'y')d = 3nd[/tex3] logo [tex3]n^2d^2-x'y'=3n[/tex3] logo [tex3]x'y' = n(nd^2-3)[/tex3]
logo x' e y' são raízes de [tex3]z^2-ndz+n(nd^2-3)=0[/tex3]
isso implica que [tex3]z[/tex3] é divisível por n, logo x' e y' também o são. Mas isso contraria o fato de d ser o mdc de (x,y).
A menos que [tex3]n=1[/tex3] dai [tex3]z^2-dz+d^2-3=0 \rightarrow (z-\frac d2)^2+3\frac{d^2}4-3 = 0 \rightarrow (z-\frac d2)^2 =\frac{3}{4}(4-d^2)[/tex3]
de onde deveríamos ter [tex3]d=2 \rightarrow z=1\rightarrow x=y[/tex3] ou [tex3]d=1[/tex3] mas dai ou x ou y seria negativo.
Portanto a única solução que existe é a trivial, x=y.
Talvez eu tenha desprezado o caso onde d é múltiplo de 3, vou verificá-lo em breve.
Se [tex3]d=3[/tex3] então [tex3]x'^2 + y'^2+x'y' = x'+y'[/tex3]
aplicando mod x' dos dois lados [tex3]y'^2 \equiv y' \mod x' \rightarrow y'^n\equiv y' \mod x'[/tex3]
então [tex3]y'^n = a(n)*x'+y'[/tex3] para todo [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3]
[tex3]y'(y'^{n-1}-1) = a(n)x'[/tex3]
como x' e y' são primos entre si, a(n) deve dar conta do y' do lado esquerdo.
logo [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'^{n-1}-1[/tex3] para todo n natural.
Em particular, [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3]
e analogamente, [tex3]y'[/tex3] divide [tex3]x'-1[/tex3] absurdo. Pois se [tex3]x'[/tex3] divide [tex3]y'-1[/tex3] então [tex3]x'<y'[/tex3] e analogamente [tex3]y'<x'[/tex3] .
Acho que isso resolve o problema completamente.
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:12031) em 26 Jul 2017, 22:45, em um total de 5 vezes.
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Lonel
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Jul 2017
27
08:30
Re: Equação Diofantina III
Resolvi de uma outra maneira.
Fatorando:
[tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]
Com [tex3]x-y\not=0[/tex3] , temos que:
[tex3]x^2+xy+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)-3(x+y)=-y^2[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]-x(x+y)+3(x+y)=y^2[/tex3]
[tex3](x+y)(3-x)=y^2[/tex3]
[tex3]3x-x^2+3y-xy=y^2[/tex3]
Note que para aparecer um termo [tex3]y^2[/tex3] , temos que [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] . Mas como [tex3]x-y\not=0[/tex3] , então só podemos testar [tex3]x=-y[/tex3] :
[tex3]-3y-(-y)^2+3y-(-y)y=y^2[/tex3]
[tex3]-y^2+y^2+3y-3y=y^2[/tex3]
[tex3]y^2=0[/tex3]
Mas isso implica que [tex3]y=0[/tex3] , então [tex3]x=0[/tex3] pois [tex3]x=-y[/tex3] , mas isso é um absurdo pois estamos procurando por soluções que [tex3]x-y\not=0[/tex3] . Assim, não existe solução para [tex3]x\not=y[/tex3] , logo os únicos pares possíveis são [tex3](x,x)[/tex3] ou [tex3](y,y)[/tex3] , quando [tex3]x=y[/tex3] .
Fatorando:
[tex3]x^{3}-y^{3}=3(x^{2}-y^{2})[/tex3]
[tex3](x-y)(x^2+xy+y^2)=3(x+y)(x-y)[/tex3]
Com [tex3]x-y\not=0[/tex3] , temos que:
[tex3]x^2+xy+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)+y^2=3(x+y)[/tex3]
[tex3]x(x+y)-3(x+y)=-y^2[/tex3]
Multiplicando a equação por [tex3]-1[/tex3] :
[tex3]-x(x+y)+3(x+y)=y^2[/tex3]
[tex3](x+y)(3-x)=y^2[/tex3]
[tex3]3x-x^2+3y-xy=y^2[/tex3]
Note que para aparecer um termo [tex3]y^2[/tex3] , temos que [tex3]x=y[/tex3] ou [tex3]x=-y[/tex3] . Mas como [tex3]x-y\not=0[/tex3] , então só podemos testar [tex3]x=-y[/tex3] :
[tex3]-3y-(-y)^2+3y-(-y)y=y^2[/tex3]
[tex3]-y^2+y^2+3y-3y=y^2[/tex3]
[tex3]y^2=0[/tex3]
Mas isso implica que [tex3]y=0[/tex3] , então [tex3]x=0[/tex3] pois [tex3]x=-y[/tex3] , mas isso é um absurdo pois estamos procurando por soluções que [tex3]x-y\not=0[/tex3] . Assim, não existe solução para [tex3]x\not=y[/tex3] , logo os únicos pares possíveis são [tex3](x,x)[/tex3] ou [tex3](y,y)[/tex3] , quando [tex3]x=y[/tex3] .
Editado pela última vez por Lonel em 27 Jul 2017, 08:32, em um total de 3 vezes.
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Auto Excluído (ID:12031)
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Jul 2017
27
08:37
Re: Equação Diofantina III
a verdade é que há soluções não triviais, eu mandei uma mensagem pro Hanon explicando meu erro.
Tem que ser considerados os inteiros negativos.
Tem que ser considerados os inteiros negativos.
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Lonel
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Jul 2017
27
09:05
Re: Equação Diofantina III
Opa, viajei legal quando afirmei que as únicas soluções possíveis para aquela equação seriam [tex3]x=y[/tex3]
ou [tex3]x=-y[/tex3]
, pois se [tex3]x=y+k[/tex3]
também apareceria um [tex3]y^2[/tex3]
, com [tex3]k\not=0[/tex3]
, etc. Botei no google e achei uma solução bem legal aqui.
Editado pela última vez por Lonel em 27 Jul 2017, 09:06, em um total de 1 vez.
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