Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Doug** » Ter 17 Jun, 2008 10:57 · Mensagem não lida por **Doug** » Ter 17 Jun, 2008 10:57

Paula escreveu os números 1,2,3,... em uma folha de papel quadriculado de acordo com o padrão indicado abaixo. Os números que aparecem ao longo da flecha forma a sequencia 1,3,13,31,... qual é o 30º termo dessa sequência?

a) 3301
b) 3303
c) 3307
d) 3309
e) 3313

: sequencia.gif (7.2 KiB) Exibido 19182 vezes

Resposta

C

Essa foi outra questão que fez eu pensa bastante

, abraço e t+

Mensagem não lidapor **Thadeu** » Ter 17 Jun, 2008 13:46 · Mensagem não lida por **Thadeu** » Ter 17 Jun, 2008 13:46

As diferenças entre dois termos nos números [tex3](1, 3, 13, 31, ...),[/tex3] formam uma PA de razão [tex3]8[/tex3]
[tex3]3 - 1 = 2\\
13 - 3 = 10\\
31 - 13 = 18\\
(2, 10, 18, ...)[/tex3]

Calculando o 29º termo dessa PA
[tex3]a_1=2, \ n=29, \ r=8, \ a_{29}=?[/tex3]

[tex3]a_{29}=a_1+28r\,\Rightarrow\,a_{29}=2+(28)8\,\Rightarrow\,a_{29}=226[/tex3]

Repare que na PA, a soma de um termo com seus anteriores é sempre igual ao termo da sequência , menos uma unidade:

[tex3]2 = 3 -1\\
10 + 2 = 13 - 1\\
18 + 10 + 2 = 31 - 1[/tex3]

Logo, o 30º termo é equivalente à soma dos 29 termos da seqüência [tex3](2, 10, 18, ..., 226),[/tex3] mais uma unidade, ou seja [tex3]a_{30}=S_{29}+1[/tex3]

[tex3]S_{29}=\frac{(a_1+a_{29})n}{2}\,\Rightarrow\,S_{29}=\frac{(2+226)29}{2}\,\Rightarrow\,S_{29}=\frac{(228)29}{2}\,\Rightarrow\,S_{29}=3306\\a_{30}=3006+1=3007[/tex3]

resp c

Mensagem não lidapor **Doug** » Ter 17 Jun, 2008 15:15 · Mensagem não lida por **Doug** » Ter 17 Jun, 2008 15:15

Nossa na minha opinião sua explicação fico bem melhor do que a que eles deram como resposta, eu tinha conseguido fazer até a P.A. de razão 8 e talz mas depois não consegui fazer mais nada, olha como eles fizeram,

A flecha que aponta para baixo na tabela passa pelos quadrados dos números ímpares:[tex3]1^{2} =1,\, 3^{2} =9,\, 5^{2} =25[/tex3] e assim por diante.

: sequncia.gif (7.48 KiB) Exibido 19151 vezes

Vamos chamar de [tex3]a_{n}[/tex3] o [tex3]n-[/tex3] ésimo termo de nossa seqüência; por exemplo,[tex3]a_{1} =1,\, a_{2} = 3 ,\,a_{3} = 13 \,e\, a_{4} = 31.[/tex3] Observando a tabela, vemos que
[tex3]1^{2}\Longrightarrow 1^{2}+1=2\Longrightarrow 1^{2}+1+1=3=a_{2}\\3^{2}\Longrightarrow 3^{2}+1=10\Longrightarrow 3^{2}+1+3=13=a_{3}\\5^{2}\Longrightarrow 5^{2}+1=26\Longrightarrow 5^{2}+1+5=31=a_{4}[/tex3]

e assim por diante. Vemos então que a lei de formação da seqüência, a partir de [tex3]a_{2}[/tex3] , é

[tex3]a_2=[1^\circ impar]^2 + 1 + 1^\circ impar\\a_3=[2^\circ impar]^2 + 1 + 2^\circ impar\\a_4 = [3^\circ impar]^2+1+3^\circ impar[/tex3]

e, em geral,

[tex3]a_n=[(n-1)^\circ impar]^{2}+1+(n-1)^\circ impar[/tex3]

Logo,

[tex3]a_{30}=[(30-1)impar]^{2}+1+(30-1)impar[/tex3] como [tex3]30-1=29,[/tex3] o vigésimo nono termo ímpar é 57 segue que
[tex3]a_{30}=57^{2}+1+57=3307[/tex3]

Ufa, cansei pra digitar isso tudo

, muito obrigado Thadeu, abraço e t+

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