Olimpíadas ⇒ (AIME-1985) Teoria dos números

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Quantos dos 1000 primeiros inteiros positivos podem ser expressos na forma [tex3]⌊2x⌋+⌊4x⌋+⌊6x⌋+⌊8x⌋[/tex3]

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[tex3]⌊2x⌋+⌊4x⌋+⌊6x⌋+⌊8x⌋[/tex3]

, sendo x um número real e [tex3]⌊z⌋[/tex3]

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[tex3]⌊z⌋[/tex3]

denotando o maior inteiro que é menor ou igual a z.

[Andre13000]

Facilmente se observa que os pontos de mudança de um número inteiro para o próximo é quando [tex3]x=\frac{a}{2},\frac{b}{4},\frac{c}{6},\frac{d}{8};a,b,c,d\in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]x=\frac{a}{2},\frac{b}{4},\frac{c}{6},\frac{d}{8};a,b,c,d\in \mathbb{Z}[/tex3]

Ainda, veja que se temos [tex3]x\in \mathbb{Z}\to 20x=1000\to x=50[/tex3]

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[tex3]x\in \mathbb{Z}\to 20x=1000\to x=50[/tex3]

, então restringimos o intervalo estudado.

Agora só temos de contar o números de lugares onde a função é descontínua. [tex3]\frac{d}{8}[/tex3]

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[tex3]\frac{d}{8}[/tex3]

claramente incluiu inteiramente [tex3]\frac{a}{2},\frac{b}{4},\frac{c}{6}[/tex3]

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[tex3]\frac{a}{2},\frac{b}{4},\frac{c}{6}[/tex3]

. Temos que [tex3]1\leq \frac{d}{8}\leq x_{máx}\to d=\{1,2,3,\dots ,400\}[/tex3]

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[tex3]1\leq \frac{d}{8}\leq x_{máx}\to d=\{1,2,3,\dots ,400\}[/tex3]

Portanto 401 números dos primeiros 1000 números são produzidos pela função. Mas acho que me equivoquei em algo na minha solução. Você tem o gabarito?

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Pior que não tenho.
Agora to muitíssimo cansado e não vai rolar eu tentar fazer a questão ou analisar direitinho sua solução. To há 3 dias dormindo mal por causa de uma maldita obra que tá acontecendo do lado do meu prédio e todo dia de manhã começa o inferno da furadeira. Quando eu estiver mais disposto, vejo direitinho.

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Consegui uma resposta:

Para [tex3]0 \leq x \leq 1[/tex3]

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[tex3]0 \leq x \leq 1[/tex3]

, a expressão é um inteiro positivo apenas para [tex3]x=\frac{1}{8}, \ \frac{1}{6}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{3}{8}, \ \frac{1}{2}, \ \frac{5}{8}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{5}{6}, \ \frac{7}{8}, \ 1[/tex3]

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[tex3]x=\frac{1}{8}, \ \frac{1}{6}, \ \frac{1}{4}, \ \frac{1}{3}, \ \frac{3}{8}, \ \frac{1}{2}, \ \frac{5}{8}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{5}{6}, \ \frac{7}{8}, \ 1[/tex3]

, ou seja, 12 valores diferentes. Visto que para x=1, a expressão assume valor 20, concluímos que em intervalos de 20 em 20, temos 12 valores possíveis para a expressão, de modo que de 0 até 1000, temos 50 desses intervalos e portanto [tex3]50*12=600[/tex3]

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[tex3]50*12=600[/tex3]

soluções.