Olimpíadas ⇒ (AIME-2013) Polinômios Tópico resolvido

[undefinied3]

A raiz real da equação [tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3]

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[tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3]

pode ser escrita na forma [tex3]\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}[/tex3]

, com a b c inteiros positivos. Determine o valor de [tex3]a+b+c[/tex3]

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[tex3]a+b+c[/tex3]

.

[Andre13000]

Veja que [tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3]

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[tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3]

se assemelha com um cubo perfeito.

[tex3]9x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=0\\
9x^3-(x+1)^3=0\\
\sqrt[3]{9}x=x+1\\
x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}-1}[/tex3]

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[tex3]9x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=0\\
9x^3-(x+1)^3=0\\
\sqrt[3]{9}x=x+1\\
x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}-1}[/tex3]

Agora lembrando da identidade [tex3]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/tex3]

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[tex3]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/tex3]

temos:

[tex3]x=\frac{\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9}+1}{9-1}=\frac{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}{8}\\
a+b+c=8+81+9=98[/tex3]

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[tex3]x=\frac{\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9}+1}{9-1}=\frac{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}{8}\\
a+b+c=8+81+9=98[/tex3]

[Deleted User 23699]

Derivando 2x, fazendo a transformada aditiva e usando Cardano dá pra encontrar o mesmo valor numérico (approx) para x, mas não fica do jeito que ele pede.

[undefinied3]

Mas por que derivar duas vezes? São três raízes diferentes, e não uma raiz com multiplicidade 3. A raiz da derivada não vai ter relação com as raízes da equação original.

[Deleted User 23699]

É que pra usar a transformada aditiva eliminando o termo de 2º grau (pra usar Cardano depois), tenho que derivar duas vezes e encontrar a raiz.
Se fosse pra eliminar o termo de grau 1, seria derivando 1 vez
Etc