Olimpíadas(AIME-2013) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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undefinied3
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(AIME-2013) Polinômios

Mensagem não lida por undefinied3 »

A raiz real da equação [tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3] pode ser escrita na forma [tex3]\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}{c}[/tex3] , com a b c inteiros positivos. Determine o valor de [tex3]a+b+c[/tex3] .

Última edição: undefinied3 (Qui 22 Jun, 2017 12:10). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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Andre13000
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Re: (AIME-2013) Polinômios

Mensagem não lida por Andre13000 »

Veja que [tex3]8x^3-3x^2-3x-1=0[/tex3] se assemelha com um cubo perfeito.

[tex3]9x^3-(x^3+3x^2+3x+1)=0\\
9x^3-(x+1)^3=0\\
\sqrt[3]{9}x=x+1\\
x=\frac{1}{\sqrt[3]{9}-1}[/tex3]

Agora lembrando da identidade [tex3]a-b=\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}[/tex3] temos:

[tex3]x=\frac{\sqrt[3]{9^2}+\sqrt[3]{9}+1}{9-1}=\frac{\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{9}+1}{8}\\
a+b+c=8+81+9=98[/tex3]

Última edição: Andre13000 (Qui 22 Jun, 2017 15:08). Total de 1 vez.


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Deleted User 23699
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Re: (AIME-2013) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

Derivando 2x, fazendo a transformada aditiva e usando Cardano dá pra encontrar o mesmo valor numérico (approx) para x, mas não fica do jeito que ele pede.



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undefinied3
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Re: (AIME-2013) Polinômios

Mensagem não lida por undefinied3 »

Mas por que derivar duas vezes? São três raízes diferentes, e não uma raiz com multiplicidade 3. A raiz da derivada não vai ter relação com as raízes da equação original.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Deleted User 23699
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Out 2021 14 19:32

Re: (AIME-2013) Polinômios

Mensagem não lida por Deleted User 23699 »

É que pra usar a transformada aditiva eliminando o termo de 2º grau (pra usar Cardano depois), tenho que derivar duas vezes e encontrar a raiz.
Se fosse pra eliminar o termo de grau 1, seria derivando 1 vez
Etc




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