Olimpíadas ⇒ (AIME-2006) - Fatoração Tópico resolvido

[undefinied3]

O número [tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}[/tex3]

pode ser escrito na forma [tex3]a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}[/tex3]

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[tex3]a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}[/tex3]

, a b c inteiros positivos. Calcule o valor de [tex3]a.b.c[/tex3]

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[tex3]a.b.c[/tex3]

[Auto Excluído (ID:17906)]

Olá, undefinied3
Primeiramente devemos igualar os termos da equação:
[tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5};[/tex3]

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[tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5};[/tex3]

Devemos elevar os dois lados da equação ao quadrado:
[tex3](\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006})^2=(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2;[/tex3]

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[tex3](\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006})^2=(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2;[/tex3]

[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006=2a+ab\sqrt{6}+ac\sqrt{10}+ab\sqrt{6}+3b+bc\sqrt{15}+ac\sqrt{10}+bc\sqrt{15}+5c;[/tex3]

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[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006=2a+ab\sqrt{6}+ac\sqrt{10}+ab\sqrt{6}+3b+bc\sqrt{15}+ac\sqrt{10}+bc\sqrt{15}+5c;[/tex3]

[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006 =2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}+2a+3b+5c;[/tex3]

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[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006 =2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}+2a+3b+5c;[/tex3]

Para facilitar os cálculos podemos dividir a equação em duas partes:
[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}=2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}[/tex3]

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[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}=2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}[/tex3]

e [tex3]2006=2a+3b+5c;[/tex3]

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[tex3]2006=2a+3b+5c;[/tex3]

[tex3]104\sqrt{6}=2ab\sqrt{6}\rightarrow52\sqrt{6}=ab\sqrt{6}\rightarrow52=2^2.13=ab;[/tex3]

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[tex3]104\sqrt{6}=2ab\sqrt{6}\rightarrow52\sqrt{6}=ab\sqrt{6}\rightarrow52=2^2.13=ab;[/tex3]

[tex3]468\sqrt{10}=2ac\sqrt{10}\rightarrow234\sqrt{10}=ac\sqrt{10}\rightarrow234=2.3^2.13=ac;[/tex3]

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[tex3]468\sqrt{10}=2ac\sqrt{10}\rightarrow234\sqrt{10}=ac\sqrt{10}\rightarrow234=2.3^2.13=ac;[/tex3]

[tex3]144\sqrt{15}=2bc\sqrt{15}\rightarrow72\sqrt{15}=bc\sqrt{15}\rightarrow72=2^3.3^2=bc;[/tex3]

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[tex3]144\sqrt{15}=2bc\sqrt{15}\rightarrow72\sqrt{15}=bc\sqrt{15}\rightarrow72=2^3.3^2=bc;[/tex3]

Dadas as informaões temos que:
[tex3]a=13,[/tex3]

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[tex3]a=13,[/tex3]

[tex3]b=2^2[/tex3]

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[tex3]b=2^2[/tex3]

e [tex3]c=3^2.2;[/tex3]

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[tex3]c=3^2.2;[/tex3]

Logo, [tex3]a.b.c=13.2^2.3^2.2=2^3.3^2.13=936.[/tex3]

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[tex3]a.b.c=13.2^2.3^2.2=2^3.3^2.13=936.[/tex3]