Olimpíadas(AIME-2006) - Fatoração Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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undefinied3
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Jun 2017 22 12:07

(AIME-2006) - Fatoração

Mensagem não lida por undefinied3 » Qui 22 Jun, 2017 12:07

O número [tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}[/tex3] pode ser escrito na forma [tex3]a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5}[/tex3] , a b c inteiros positivos. Calcule o valor de [tex3]a.b.c[/tex3]

Última edição: undefinied3 (Qui 22 Jun, 2017 12:07). Total de 2 vezes.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

Auto Excluído (ID:17906)
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Jun 2017 22 15:53

Re: (AIME-2006) - Fatoração

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Qui 22 Jun, 2017 15:53

Olá, undefinied3
Primeiramente devemos igualar os termos da equação:
[tex3]\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006}=a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5};[/tex3]
Devemos elevar os dois lados da equação ao quadrado:
[tex3](\sqrt{104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006})^2=(a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{5})^2;[/tex3]
[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006=2a+ab\sqrt{6}+ac\sqrt{10}+ab\sqrt{6}+3b+bc\sqrt{15}+ac\sqrt{10}+bc\sqrt{15}+5c;[/tex3]
[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}+2006 =2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}+2a+3b+5c;[/tex3]
Para facilitar os cálculos podemos dividir a equação em duas partes:
[tex3]104\sqrt{6}+468\sqrt{10}+144\sqrt{15}=2ab\sqrt{6}+2ac\sqrt{10}+2bc\sqrt{15}[/tex3] e [tex3]2006=2a+3b+5c;[/tex3]
[tex3]104\sqrt{6}=2ab\sqrt{6}\rightarrow52\sqrt{6}=ab\sqrt{6}\rightarrow52=2^2.13=ab;[/tex3]
[tex3]468\sqrt{10}=2ac\sqrt{10}\rightarrow234\sqrt{10}=ac\sqrt{10}\rightarrow234=2.3^2.13=ac;[/tex3]
[tex3]144\sqrt{15}=2bc\sqrt{15}\rightarrow72\sqrt{15}=bc\sqrt{15}\rightarrow72=2^3.3^2=bc;[/tex3]
Dadas as informaões temos que:
[tex3]a=13,[/tex3] [tex3]b=2^2[/tex3] e [tex3]c=3^2.2;[/tex3]
Logo, [tex3]a.b.c=13.2^2.3^2.2=2^3.3^2.13=936.[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Qui 22 Jun, 2017 15:53). Total de 2 vezes.



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