A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Resposta
Gabarito: B
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
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)Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
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Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2017) Resto da divisão
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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ALANSILVA
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Jun 2017
21
12:08
(OBMEP-2017) Resto da divisão
Somando [tex3]1[/tex3]
a um certo número natural, obtemos um múltiplo de [tex3]11[/tex3]
. Subtraindo [tex3]1[/tex3]
desse mesmo número, obtemos um múltiplo de [tex3]8[/tex3]
. Qual é o resto da divisão do quadrado desse número por [tex3]88[/tex3]
?
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Gabarito: B
A) 0
B) 1
C) 8
D) 10
E) 80
Gabarito: B
Editado pela última vez por ALANSILVA em 21 Jun 2017, 12:08, em um total de 1 vez.
No meio da dificuldade se encontra a oportunidade (Albert Einstein)
-
Snowden
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Jun 2017
21
14:10
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Esse número seria o 65? eu fiz a lista dos números multiplos de 11 até o número 154(14 números),depois eu fui subtraindo uma unidade e somando uma unidade.Por exemplo: 55 é multiplo de 11, logo 54 é um numero que somado com uma unidade vira multiplo de 11,mas quando subtrai uma unidade Não vira multiplo de 8. achei o 65 e,realmente,seu quadrado deixa resto 1 quando divide por 88.Espero ter ajudado
"Deus acima de tudo, Brasil acima de todos"
-
undefinied3
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Jun 2017
21
21:24
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Não é apenas esse número. Por ser uma questão objetiva, essa solução por listagem seria suficiente, mas deixo uma solução que daria pontuação completa caso a questão fosse discursiva, pois a priori não há nada que prove que esse resto é unicamente 1.
[tex3]n+1=11a \rightarrow 8n+8=88a[/tex3]
[tex3]n-1=8b \rightarrow 11n-11=88b[/tex3]
[tex3]3n-19=88(b-a)=88c[/tex3]
[tex3]3n=88c+19[/tex3]
Veja que [tex3]88 \equiv 1[/tex3] e [tex3]19 \equiv 1[/tex3] módulo 3, então c deve deixar resto 2, segue que [tex3]c=3p+2[/tex3]
[tex3]3n=264p+195 \rightarrow n =88p+65[/tex3]
O resto da divisão de [tex3]n^2[/tex3] por 88 é o mesmo que o quadrado do resto da divisão de n por 88. No caso, esse resto é 65, [tex3]65^2=4225[/tex3] , que deixa resto 1 de fato.
[tex3]n+1=11a \rightarrow 8n+8=88a[/tex3]
[tex3]n-1=8b \rightarrow 11n-11=88b[/tex3]
[tex3]3n-19=88(b-a)=88c[/tex3]
[tex3]3n=88c+19[/tex3]
Veja que [tex3]88 \equiv 1[/tex3] e [tex3]19 \equiv 1[/tex3] módulo 3, então c deve deixar resto 2, segue que [tex3]c=3p+2[/tex3]
[tex3]3n=264p+195 \rightarrow n =88p+65[/tex3]
O resto da divisão de [tex3]n^2[/tex3] por 88 é o mesmo que o quadrado do resto da divisão de n por 88. No caso, esse resto é 65, [tex3]65^2=4225[/tex3] , que deixa resto 1 de fato.
Editado pela última vez por undefinied3 em 21 Jun 2017, 21:24, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
-
Lonel
- Mensagens: 107
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Jun 2017
22
10:38
Re: (OBMEP-2017) Resto da divisão
Vou postar a solução que fiz no dia da prova, acho que é mais fácil de entender/fazer:
Vou chamar este número natural de [tex3]n[/tex3] . Sabemos que [tex3]\frac{n+1}{11}[/tex3] e [tex3]\frac{n-1}{8}[/tex3] apresentam restos zero, então a multiplicação entre as frações apresentará o mesmo resto. Assim, [tex3]\frac{n^2-1}{88}[/tex3] apresenta resto zero. Como [tex3]n^2[/tex3] subtraído de uma unidade deixa resto zero, assim [tex3]n^2[/tex3] deixará resto um.
Vou chamar este número natural de [tex3]n[/tex3] . Sabemos que [tex3]\frac{n+1}{11}[/tex3] e [tex3]\frac{n-1}{8}[/tex3] apresentam restos zero, então a multiplicação entre as frações apresentará o mesmo resto. Assim, [tex3]\frac{n^2-1}{88}[/tex3] apresenta resto zero. Como [tex3]n^2[/tex3] subtraído de uma unidade deixa resto zero, assim [tex3]n^2[/tex3] deixará resto um.
Editado pela última vez por Lonel em 22 Jun 2017, 10:38, em um total de 1 vez.
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