Olimpíadas ⇒ (OBMEP-2017) Comprimento da Pista

[ALANSILVA]

Ana, Beatriz e Cristina treinam numa posta de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fim da pista, correndo em sentido contrário aos das suas amigas, no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas que tinha percorrido 20 metros desde o momento em que cruzou com Beatriz até o momento que cruzou com Cristina. Quantos metros tem a pista?

A) 200 metros
B) 220 metros
C) 240 metros
D) 300 metros
E) 360 metros

Resposta

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[tex3]Gabarito: C[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]Gabarito: C[/tex3]

[314159265]

A pista tem um comprimento C.

Onde Ana e Beatriz vão se encontrar? No ponto [tex3]\frac{1}{3}C[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}C[/tex3]

, pois Ana vai correr [tex3]\frac{2}{3}C[/tex3]

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[tex3]\frac{2}{3}C[/tex3]

do final da pista pro início e Beatriz vai correr [tex3]\frac{1}{3}C[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}C[/tex3]

do início para o final, já que uma é duas vezes mais rápida que a outra.

Onde Ana e Cristina vão se encontrar? No ponto [tex3]\frac{1}{4}C[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}C[/tex3]

, pois Ana vai correr [tex3]\frac{3}{4}C[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{4}C[/tex3]

do final da pista pro início e Cristina vai correr [tex3]\frac{1}{4}C[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{4}C[/tex3]

do início para o final, já que uma é três vezes mais rápida que a outra.

Então eu tenho que:

[tex3]\frac{1}{3}C-\frac{1}{4}C=20m[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{3}C-\frac{1}{4}C=20m[/tex3]

[tex3]\frac{4}{12}C-\frac{3}{12}C=20m[/tex3]

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[tex3]\frac{4}{12}C-\frac{3}{12}C=20m[/tex3]

[tex3]C=240m[/tex3]

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[tex3]C=240m[/tex3]

[ALANSILVA]

Olá
Agradeço a solução, porém está semelhante ao da OBMEP e particularmente não gostei desse modo de resolver, pois não prova os pontos de encontro. Se tiver outra solução mais detalhada agradeço.
Se alguém puder postar outra solução agradeço também!

[314159265]

Vou demonstrar o primeiro ponto de encontro, mas você vai ver que não precisa perder tempo com isso. Você concorda que se elas caminham em direções opostas e se encontram, o somatório do que uma percorreu mais o que a outra percorreu deve ser igual ao comprimento da pista? Concorda também que para o caso de Ana e Beatriz, uma é duas vezes mais rápida que a outra e portanto vai correr o dobro no mesmo tempo? Logo:

[tex3]x + 2x = C[/tex3]

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[tex3]x + 2x = C[/tex3]

[tex3]x = \frac{C}{3}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{C}{3}[/tex3]