Olimpíadas(OBMEP-2017) Comprimento da Pista

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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ALANSILVA
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(OBMEP-2017) Comprimento da Pista

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Ana, Beatriz e Cristina treinam numa posta de corrida. Ana corre sempre com o dobro da velocidade de Beatriz e com o triplo da velocidade de Cristina. Um dia, Ana partiu do fim da pista, correndo em sentido contrário aos das suas amigas, no mesmo instante em que Beatriz e Cristina partiram do início da pista. Após o treino, Ana disse para suas amigas que tinha percorrido 20 metros desde o momento em que cruzou com Beatriz até o momento que cruzou com Cristina. Quantos metros tem a pista?

A) 200 metros
B) 220 metros
C) 240 metros
D) 300 metros
E) 360 metros
Resposta

[tex3]Gabarito: C[/tex3]

Última edição: ALANSILVA (Qua 21 Jun, 2017 12:05). Total de 1 vez.


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Re: (OBMEP-2017) Comprimento da Pista

Mensagem não lida por 314159265 »

A pista tem um comprimento C.

Onde Ana e Beatriz vão se encontrar? No ponto [tex3]\frac{1}{3}C[/tex3] , pois Ana vai correr [tex3]\frac{2}{3}C[/tex3] do final da pista pro início e Beatriz vai correr [tex3]\frac{1}{3}C[/tex3] do início para o final, já que uma é duas vezes mais rápida que a outra.

Onde Ana e Cristina vão se encontrar? No ponto [tex3]\frac{1}{4}C[/tex3] , pois Ana vai correr [tex3]\frac{3}{4}C[/tex3] do final da pista pro início e Cristina vai correr [tex3]\frac{1}{4}C[/tex3] do início para o final, já que uma é três vezes mais rápida que a outra.

Então eu tenho que:

[tex3]\frac{1}{3}C-\frac{1}{4}C=20m[/tex3]
[tex3]\frac{4}{12}C-\frac{3}{12}C=20m[/tex3]
[tex3]C=240m[/tex3]

Última edição: 314159265 (Qua 21 Jun, 2017 20:57). Total de 3 vezes.



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Re: (OBMEP-2017) Comprimento da Pista

Mensagem não lida por ALANSILVA »

Olá
Agradeço a solução, porém está semelhante ao da OBMEP e particularmente não gostei desse modo de resolver, pois não prova os pontos de encontro. Se tiver outra solução mais detalhada agradeço.
Se alguém puder postar outra solução agradeço também!


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314159265
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Re: (OBMEP-2017) Comprimento da Pista

Mensagem não lida por 314159265 »

Vou demonstrar o primeiro ponto de encontro, mas você vai ver que não precisa perder tempo com isso. Você concorda que se elas caminham em direções opostas e se encontram, o somatório do que uma percorreu mais o que a outra percorreu deve ser igual ao comprimento da pista? Concorda também que para o caso de Ana e Beatriz, uma é duas vezes mais rápida que a outra e portanto vai correr o dobro no mesmo tempo? Logo:

[tex3]x + 2x = C[/tex3]
[tex3]x = \frac{C}{3}[/tex3]

Última edição: 314159265 (Qua 21 Jun, 2017 23:34). Total de 1 vez.



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