Olimpíadas ⇒ (Olimpíada da Inglaterra) Somatório Triplo Tópico resolvido
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(Olimpíada da Inglaterra) Somatório Triplo
Avalie [tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^i\cdot3^j\cdot3^k.}[/tex3]
Sabendo que [tex3]i \neq j \neq k.[/tex3]
Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Sex 16 Jun, 2017 19:19). Total de 1 vez.
Jun 2017
16
21:50
Re: (Olimpíada da Inglaterra) Somatório Triplo
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^i\cdot3^j\cdot3^k.}[/tex3]
podemos tirar os termos do produto que não dependem de K do primeiro somatório
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}[/tex3]
utilizando a formula da soma de uma PG infinita com razão menor que 1
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{1}{1-\frac{1}{3}}[/tex3]
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^j}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}.\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}[/tex3]
[tex3]=\left(\frac{3}{2}\right)^3[/tex3]
podemos tirar os termos do produto que não dependem de K do primeiro somatório
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{3^k}[/tex3]
utilizando a formula da soma de uma PG infinita com razão menor que 1
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{1}{1-\frac{1}{3}}[/tex3]
[tex3]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}.\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^i.3^j}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}\sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{3^j}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}.\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{3^i}[/tex3]
[tex3]=\left(\frac{3}{2}\right)^3[/tex3]
Última edição: jedi (Sex 16 Jun, 2017 21:50). Total de 1 vez.
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