Olimpíadas

Resolva em números inteiros não negativos a equação [tex3]2^{a}.3^{b} + 9 = c^{2}.[/tex3]

[tex3]2^a3^b=(c+3)(c-3)[/tex3]
Se c for par, o produto dos fatores do lado direito será sempre ímpar, implicando a=0:

[tex3]3^b=(c+3)(c-3) \rightarrow c^2=3^2(3^{b-2}+1)[/tex3]
É fácil verificar que não há solução com b<=2
O que está no parênteses deve ser um quadrado perfeito:
[tex3]3^{b-2}+1=u^2 \rightarrow 3^{b-2}=(u+1)(u-1)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
3^{\alpha}=u+1 \\
3^{b-2-\alpha}=u-1
\end{cases} \rightarrow 3^{\alpha}-3^{b-2-\alpha}=2[/tex3]
Cuja única solução é [tex3]\alpha=1[/tex3] , [tex3]b=3[/tex3] para termos 3-1=2.
Então encontramos (a,b,c) = (0,3,6)

Tenho que ir pra escola agora. Se eu voltar e ninguém tiver concluído, eu tento terminar. O caso c ímpar é com certeza mais chatinho. Pra b=2, temos uma solução imediata que é (3,2,9), mas isso foi no olhômetro. Se for a única, teremos que provar que é a única, e se não, mostrar as outras.

Ok, vamos terminar isso.

Se c for ímpar, não podemos tirar o fator 2. Neste caso, antes de fazer a próxima passagem, analisemos se b<=2 fornece solução:
[tex3]2^a+9=c^2 \rightarrow 2^a=(c+3)(c-3)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^{\alpha}=c+3 \\
2^{a-\alpha}=c-3
\end{cases} \rightarrow 2^{\alpha}-2^{a-\alpha}=6[/tex3]
Cuja solução é única para 8-2, portanto a=4, b=0, c=5
[tex3]3.2^a+9=c^2 \rightarrow 3(2^a+3)=c^2[/tex3]
[tex3]2^a+3=3u^2 \rightarrow 2^a=3(u^2-1)[/tex3] , mas 3 não divide 2, então não há solução para b=1
[tex3]9.2^a+9=c^2 \rightarrow 9(2^a+1)=c^2[/tex3]
[tex3]2^a+1=x^2 \rightarrow 2^a=(x+1)(x-1)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
2^{\alpha}=x+1 \\
2^{a-\alpha}=x-1
\end{cases} \rightarrow 2^{\alpha}-2^{a-\alpha}=2[/tex3]
Cuja solução é única para 4-2, portanto a=3, b=2, c=9

Feitas essas considerações, podemos fazer:
[tex3]9(3^{b-2}2^a+1)=c^2[/tex3]
[tex3]3^{b-2}2^a+1=x^2 \rightarrow 3^{b-2}2^a=(x+1)(x-1)[/tex3]

EDIT: Viajei no argumento da paridade, to refazendo. O problema é mais embaixo, to empacando numa coisa agora.

Esse exercício é bem mais capicioso do que eu pensava. Pra evitar o esforço, vou fazer [tex3]a=x[/tex3] , [tex3]b-2=y[/tex3] :

[tex3]2^x3^y=(z+1)(z-1)[/tex3]
Repare que, se z+1 possui fator 3, z-1 não possuirá, pois só um deles é múltiplo de 3.
Primeiro caso: z+1 possui fator 3:
[tex3]\begin{cases}
2^{\alpha}3^y=z+1 \\
2^{x-\alpha}=z-1
\end{cases} \rightarrow 2^{\alpha}3^y-2^{x-\alpha}=2 \rightarrow 2^{\alpha}(3^y-2^{x-2\alpha})=2[/tex3]
[tex3]\alpha=1 \rightarrow 3^y-2^{x-2}=1[/tex3]
[tex3]\therefore y=1, \ x=3[/tex3] ou [tex3]\therefore y=2, \ x=5[/tex3]
[tex3]\alpha=0 \rightarrow 3^y-2^{x}=2[/tex3] sem solução
Daqui tiramos (a,b,c)=(3,3,15) e (5,4,51)
Segundo caso: z-1 possui fator 3
[tex3]\begin{cases}
2^{\alpha}=z+1 \\
2^{x-\alpha}3^y=z-1
\end{cases} \rightarrow 2^{\alpha}(1-2^{x-2\alpha}3^y)=2[/tex3]
[tex3]\alpha=1 \rightarrow 1-2^{x-2}3^y=2[/tex3]
Aqui vamos ter que testar o alpha no outro fator:
[tex3]\begin{cases}
2^{x-\alpha}=z+1 \\
2^{\alpha}3^y=z-1
\end{cases} \rightarrow 2^{\alpha}(2^{x-2\alpha}-3^y)=2[/tex3]
[tex3]\alpha=1 \rightarrow 2^{x-2}-3^y=1[/tex3]
[tex3]\therefore x=3, \ y=0[/tex3] ou [tex3]\therefore x=4, \ y=1[/tex3]
E obtemos (a,b,c)=(3,2,9) e (4,3,21)

Acho que é isso. Tem solução que nem o Wolfram tava encontrando e acabou aparecendo. Se tiver mais do que isso, é alguma análise obscura que ficou faltando.

Juntando todas as repostas:
(0,3,6) (4,0,5) (3,3,15) (5,4,51) (3,2,9) (4,3,21)

Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números Tópico resolvido

(Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números Tópico resolvido

(Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Re: (Olimpíada Balcânica Júnior-2009) Teoria dos Números

Entrar • Registrar