Determine todos os pares [tex3](x, y)[/tex3]
de números inteiros positivos, tais que:
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y|
+ 1.[/tex3]
Olimpíadas ⇒ (Treinamento Olímpico Americano) Teoria dos Números Tópico resolvido
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(Treinamento Olímpico Americano) Teoria dos Números
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Re: Treinamento Olímpico Americano - Teoria dos Números
Se x=y
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13x^{2}+ 7x^2} = 1[/tex3]
[tex3]x = y = 1[/tex3]
Se x > y
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = x - y + 1[/tex3]
Fazendo x-y = t
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (t+y) } =t + 1[/tex3]
[tex3]7t^{2} + ty+y^{2} = t^{3} + 3t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]ty+y^{2} = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y =\frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{t - (-y) }[/tex3]
Como y é inteiro, então -y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]
mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.
Se x < y
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (y-x)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]
Fazendo y-x = t
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]y \cdot (y-t) = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y = \frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{-(t-y)}[/tex3]
Como y é inteiro, então y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]
mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.
Logo as únicas soluções para o problema são [tex3]\boxed {(x,y) = (1,1)}[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13x^{2}+ 7x^2} = 1[/tex3]
[tex3]x = y = 1[/tex3]
Se x > y
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = x - y + 1[/tex3]
Fazendo x-y = t
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (t+y) } =t + 1[/tex3]
[tex3]7t^{2} + ty+y^{2} = t^{3} + 3t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]ty+y^{2} = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y =\frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{t - (-y) }[/tex3]
Como y é inteiro, então -y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]
mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.
Se x < y
[tex3]\sqrt[3]{7x^2 - 13xy + 7y^2} = |x - y| + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (x-y)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot (y-x)^{2} + xy } = y - x + 1[/tex3]
Fazendo y-x = t
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]\sqrt[3]{ 7\cdot t^{2} + y \cdot (y-t) } = t + 1[/tex3]
[tex3]y \cdot (y-t) = t^{3} - 4t^{2}+3t+1[/tex3]
[tex3]y = \frac{ t^{3} - 4t^{2}+3t+1}{-(t-y)}[/tex3]
Como y é inteiro, então y deve ser raiz de [tex3]t^{3} - 4t^{2}+3t+1= 0[/tex3]
mas esse polinomio não tem raízes inteiras, logo não existem soluções para esse caso.
Logo as únicas soluções para o problema são [tex3]\boxed {(x,y) = (1,1)}[/tex3]
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Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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