OlimpíadasOlimpíada Júnior da Turquia - 2015 Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Olimpíada Júnior da Turquia - 2015

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Encontre todos os pares [tex3](p, n)[/tex3] para que [tex3]p[/tex3] seja um número primo e [tex3]n[/tex3] seja um inteiro positivo.
[tex3]p^3-2p^2+p+1=3^n[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Seg 29 Mai, 2017 16:32). Total de 1 vez.



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Andre13000
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Re: Olimpíada Júnior da Turquia - 2015

Mensagem não lida por Andre13000 »

Sem perda de generalidade, pode-se substituir 3 por uma variável qualquer, x.

[tex3]p^3-2p^2+p+1=x^n\\
p(p^2-2p+1)=x^n-1\\
p(p-1)^2=\prod_{k|n}\Phi_k(x)[/tex3]

Agora só temos que achar o maior número n que tenha no máximo três divisores, que é 4. Isso é porque como o lado esquerdo está fatorado em 3, o lado direito também deve estar. (Não sei se isso é válido, mas como de acordo com o WolframAlpha a maior solução para n é 4, se eu estiver errado me corrijam)

1.[tex3]p(p-1)^2=3^4-1=80=4^2\cdot 5\\
p=5[/tex3]

2.[tex3]p(p-1)^2=3^3-1=13\cdot 2\\[/tex3]

3.[tex3]p(p-1)^2=3^2-1=2^3[/tex3]

4.[tex3]p(p-1)^2=3-1\\
p=2[/tex3]

Portanto, as soluções são [tex3]S=\left\{5,4;2,1\right\}[/tex3]

Obs: estou cético dessa solução pela passagem que eu fiz lá encima, mas vou esperar para ver se alguém dá uma iluminada no caso aí.

Edit: isso daí tá muiiito errado. Acho que vou me aposentar de teoria dos números kkkkk. Se vale para n menor, porque não valeria para n maior :?: Acho que foi tudo uma grande coincidência. Vou tentar fazer por outros métodos.

Última edição: Andre13000 (Seg 29 Mai, 2017 17:44). Total de 4 vezes.


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undefinied3
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Re: Olimpíada Júnior da Turquia - 2015

Mensagem não lida por undefinied3 »

De fato, sua afirmação sobre número de divisores está equivocada. (p-1) não é primo para você afirmar que o número está fatorado em 3 fatores únicos, é isso que fura seu argumento. Só funciona para p=2, pois teríamos p=1 que "se comporta" como primo (apesar de não ser), por isso você conseguiu achar algumas soluções, mas não provando que são únicas.

Eu também não consegui terminar o problema...

[tex3]p^3-2p^2+p+1=3^n[/tex3]
Aplicando módulo 4
[tex3]p^3-2p^2+p+1 \equiv (-1)^n[/tex3]
Inicialmente, notemos como p=2 n=1 é solução óbvia e p=3 não tem solução. Os primos restantes são todos da forma 4k+1 ou 4k-1. Pro primeiro caso:
[tex3](1)^3-2(1)^2+1+1 \equiv 1 \equiv (-1)^n[/tex3] , daí tiramos que n é par.
Pro segundo:
[tex3](-1)^3-2(-1)^2-1+1 \equiv -3 \equiv 1[/tex3] , novamente n é par.
Então, em qualquer caso, [tex3]p^3-2p^2+p+1=3^{2x}[/tex3]
O que nos dá a fatoração [tex3]p(p-1)^2=(3^x+1)(3^x-1)[/tex3]
Aplicando módulo 3, [tex3]p(p-1)^2 \equiv 2[/tex3] , que tem solução [tex3]p=3k+2[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
p=4k+1 \\
p=3k'+2
\end{cases} \rightarrow p=12u+5[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
p=4k-1 \\
p=3k'+2
\end{cases} \rightarrow p=12u+11[/tex3]
Travei...

Última edição: undefinied3 (Seg 29 Mai, 2017 22:21). Total de 1 vez.


Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.

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